¿Es esta relación una relación de Equivalencia?

Question

{(A,B) : a, B ⊆ X, hay un bijective f : a → B}, X es limitado.

Tengo que demostrar si esto es (para demostrar que es una relación de equivalencia):
$R ⊆ X \times X$
I) reflexivo (si $∀x ∈ X : (x, x) ∈ R$)
II) simétrica (si $∀x,x' ∈ X : (x, x') ∈ R ⇒ (x,x') ∈ R$)
III) transitiva (si $∀x, x', x'' ∈ R : (x, x') ∈ R (x',x'') ∈ R ⇒ (x, x'') ∈ R$)

Bien, entiendo de qué y cómo tengo que hacerlo, pero de alguna manera no con esta tarea.

Tal vez alguien podría enseñarme cómo transformar la primera línea en algo puedo trabajar. Yo también estoy un poco confundido acerca de ese $R⊆X \times X$ cosa. Es a, B ⊆ X y me temo que mis 3 puntos que tengo para mostrar, no puede ser aplicada fácilmente en mi tarea.

Answer 1

Para esta relación particular$R$, tenemos dos conjuntos base, uno es$X$, sus subconjuntos son los "elementos" entre los que se interpreta$R$, por lo que el conjunto básico de$R$ ahora es la potencia establecida$\mathcal P(X)$, es decir,$R\subseteq \mathcal P(X)\times\mathcal P(X)$.

Debes mostrar eso, para todo$A,B,C\in\mathcal P(X)$:

1. $(A,A)\in R$, es decir, hay un bijection$A\to A$.
2. Si hay un bijection$A\to B$, entonces hay uno$B\to A$.
3. Si hay biyecciones$A\to B$ y$B\to C$, entonces hay uno$A\to C$.