Primero de todo, un límite de operación $\lim_{x\to a}$ no implica la asignación de valores a $x$ que son sucesivamente cerca de $a$ aunque la frase tiende a sugiere un significado similar. Esa frase tiende a tiene un sentido, pero sólo en el contexto completo como $f(x) $ tiende a $L$ $x$ tiende a $a$. Además, la última frase tiene un significado preciso que a menudo se diluye mucho en diversos libros de texto de exposiciones del concepto de límite. Esta dilución tiene un gran costo en términos de crear confusión en las mentes de los estudiantes.
El conciso ecuación de $\lim_{x\to a} f(x) =L$ significa que una muy lógica específica de la declaración es verdadera. Es la forma complicada de la instrucción lógica que hace que el concepto general de limitar un poco difícil de entender. Además, contrario a la creencia popular (compartida por muchos educadores) la dificultad en esta instrucción lógica no está relacionado con la estructura de la declaración, pero es más bien debido a las desigualdades que participan y una falta de reconocimiento de relaciones de orden en el conjunto de la escuela secundaria de matemáticas de la educación.
La instrucción lógica aquí es que se pueda asegurar que todos los valores de $f(x) $ están tan cerca de $L$ como queremos acotando los valores de $x$ cerca de $a$. Esto no significa que el valor de $x$ está cerca de a $a$, sino que podemos garantizar algún tipo de patrón en los valores de $f(x) $ (el patrón siendo que estos valores están cerca de $L$) mediante la restricción de los valores de $x$ cerca de $a$. Para poner el asunto en crudo, estamos garantizando que algo se puede hacer, no es que en realidad lo hacemos. Que es, en toda esta discusión no estamos asignando los valores a $x$.
La discusión anterior de ninguna manera nos ayuda a descubrir (o evaluar) $L$ dada la función $f$ y el punto de $a$. Ese trabajo se realiza a través de la ayuda de teoremas que son popularmente conocido como álgebra de límites. Y además, esto se simplifica en gran medida al señalar que para una gran clase de funciones comúnmente visto en el cálculo del límite de una función en un punto es igual al valor de la función en ese punto (este hecho se establece de nuevo usando álgebra de límites). Este punto ya ha sido tratado en detalle en esta respuesta.
La presentación de estas ideas, el uso de la noción de infitesimals es algo diferente. Y el infinitesimals se utiliza principalmente para eliminar las desigualdades de las que son inherentes a la lógica de la declaración relativa a los límites. Pero los defensores de los infinitesimales enfoque muy inteligentemente evitó mencionar el anterior hecho y en lugar de destacar que su presentación está dirigida a la simplificación de la estructura de la lógica de enunciados. Y una enorme cantidad de trabajo fundacional que se ha hecho en la teoría de infinitesimals para evitar estas desigualdades que están involucrados en el habitual $\epsilon, \delta $ enfoque. Por lo tanto la completa comprensión de los infinitesimales enfoque es hay forma más sencilla que la de costumbre / enfoque estándar que implica sólo una apreciación de las relaciones de orden.
