Producto tensor de dos espacios vectoriales (dimensión finita)

Question

Estoy estudiando el producto tensor de wikipedia.

Si $V$ tiene una base $e_1,\dots,e_m$ $W$ tiene una base $f_1,\dots,f_n$, entonces el producto tensor $V\otimes W$ puede ser llevado a ser un espacio vectorial generado por una base que consta de todos los pares de los productos de los elementos de las dos bases; cada elemento base de la $V\otimes W$ es denotado $e_i\otimes f_j$. Para cualquier vectores $v = \sum\nolimits_i v_i e_i \in V$ $w = \sum\nolimits_j w_j f_j \in W,$ no es un producto correspondiente vector de $v\otimes w$ $V\otimes W$ $\sum\nolimits_{ij} v_i w_j (e_i\otimes f_j) \in V\otimes W.$ Este producto de la operación $\otimes : V \times W \rightarrow V\otimes W$ es rápidamente verificadas a ser bilineal.

Como un ejemplo, lo $V = W = \mathbb{R}^3$, entonces dim$(V\oplus W)=3+3=6$ y dim$(V\otimes W)=3\cdot3=9$.

Preguntas: (en general, sino sólo de dimensión finita)

a) $f: V \times W \rightarrow V\oplus W$ podría ser bijective?

b) $g: V \times W \rightarrow V\otimes W$ no es bijective, ya que no es surjective (como yo lo veo). ¿Es inyectiva?

c) $g[V \times W]$ la imagen de $g$ es un subconjunto de a $V\otimes W$. Podemos decir otra cosa? Es un subespacio? Cómo podemos imaginar los vectores en $V\otimes W$ lo cual es un elemento de $g[V \times W]$ y que no es?

Answer 1

Para (un), en realidad tiene más: para cualquier par de espacios vectoriales, $V \times W$ tiene un natural de espacio vectorial estructura y hay un isomorfismo natural $V \times W \cong V \oplus W$. De hecho, a menudo se define a $\oplus$ a la media de $\times$.

Para (b), el mapa es casi nunca inyectiva. Para cualquier par de vectores $v,w$ y escalares $r$, usted tiene $(rv) \otimes w = v \otimes (rw)$, y por lo tanto $(rv, w)$ $(v, rw)$ tienen la misma imagen. La única excepción es cuando se $V$ $W$ son ambos cero espacios vectoriales.

Para (c), llamamos a la imagen de $g$ la pura tensores. Para cualquier par de espacios vectoriales, cada elemento de la $V \otimes W$ puede ser escrita en la forma

$$ \sum_{i=1}^n v_i \otimes w_i $$

para algún número natural $n$ y la secuencia de vectores $v_i \in V$$w_i \in W$. Así, el general de los tensores son simplemente combinaciones lineales de los puros.

El menor valor de $n$ que puede ser elegido se llama el rango del tensor. (pero tenga cuidado, el rango es también comúnmente se utiliza en este contexto para significar algo completamente diferente)

Esto concuerda con la noción de rango para las matrices, al ver el espacio de las matrices como el producto tensor del espacio de vectores columna con el espacio de vectores fila.