Fórmulas simples para matrices

Question

¿Puede alguien explicarme cómo probar la siguiente fórmula?

$det(I +M) = \exp\;tr\;\ln(I+M)\;\,.$

Aquí,$I$ y$M$ son una matriz de identidad$2 \times 2$ y una matriz arbitraria$2 \times 2$, correspondientemente.

Además, ¿cómo derivar de la fórmula anterior la siguiente?

$− 2\,det\,M = tr(M^2) − (tr M)^2$

¿Estas fórmulas tienen contrapartidas de dimensiones mayores que$2 \times 2\,$?

En alguna parte de la literatura vi la relación

$\ln\;det[M+Q] = \ln\;detM + Tr[M^{−1}\,Q] + O(Q^2)$

Cómo probarlo?

¡Muchas gracias!

Answer 1

La primera parte sigue la identidad (ver aquí )$$ \det (e^A) = e^{tr(A)}$ $ donde$A = \ln(I+M)$ en su ejemplo.

Answer 2

Lo mejor era empezar con esto, en cualquier dimensión. Si $J$ está en Forma Normal de Jordan, obtenemos $$ \det \exp (J) = e^{\operatorname{trace} J } \; . $$ Aquí podemos considerar por separado cada bloque de Jordan, como $\exp (J)$ tiene la misma estructura de bloque. En cada bloqueo, tenemos un escalar parte $\lambda I$ y un nilpotent parte $N.$ a estos desplazamientos encontrar el bloque de $\exp (\lambda I + N) = \exp \lambda I \cdot \exp N = e^\lambda I \cdot \exp N = e^\lambda \exp N. $ Nos encontramos con $\exp N$ por una suma finita.

De ello se desprende que el mismo es cierto para cualquier real o compleja matriz cuadrada $A,$ como podemos escribir $A = Q^{-1} J Q.$

El resto de sus cosas rápidamente se pone difícil. No es el caso que podemos hacer sentido de $\log (I+M)$ para cualquier matriz cuadrada a $M.$ podemos esperar a hacerlo cuando todas las entradas de $M$ son bastante pequeñas, como la exponencial mapa lleva a un pequeño barrio de la matriz cero a un pequeño barrio de la matriz de identidad. Por ejemplo, $\exp A$ siempre es invertible, el inverso de ser $\exp (-A).$ Si su $I+M$ a no es invertible, también no tiene logaritmo.