Comprensión cuando se ' s OK para usar límites de aritmética de multiplicar

Question

Estoy teniendo problemas para entender cuando puedo hacer el siguiente movimiento: $\lim_{n\to \infty}a_n\cdot b_n = \lim_{n\to \infty}a_n\cdot\lim_{n\to \infty}b_n$

Por un lado, mi maestra me dijo que yo pueda hacerlo sólo si demuestran que tanto los límites de $a_n$ $b_n$ están existir y finito. Por otro lado, Cuando he calculado el límite de la serie de $a_n=n*cos1/n$ el uso de este sitio https://www.symbolab.com que es bastante fiable, vi esto pasos:

$\lim_{n\to \infty}n\cos(1/n)=\lim_{n\to \infty}n\cdot \lim_{n\to \infty}cos(1/n)="\infty\cdot 1"=\infty$

Entonces, ¿cómo este movimiento es posible si el límite de $a_n=n$ no es finito?

Answer 1

Usted seguramente puede aplicar $$\lim_{n\to\infty}a_nb_n= \Bigl(\lim_{n\to\infty}a_n\Bigr) \Bigl(\lim_{n\to\infty}b_n\Bigr) \etiqueta{*}$$ cuando ambos límites en el lado derecho existen y son finitos.

Si uno de los límite no existe, usted no puede incluso escribir (*) para empezar, por lo que no tiene sentido preguntar si se puede aplicar.

Sin embargo, es posible añadir "reglas" cuando uno de esos límites, es infinito; esencialmente, si $\lim_{n\to\infty}b_n=c>0$$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$, también se $\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty$. Similares (y obvio) reglas de mantener al $c<0$ o el otro límite es $-\infty$.

La prueba de la extensión de la regla arriba mencionada es fácil. Desde $\lim_{n\to\infty}b_n=c>0$ existe $N_0$ tal que, para $n>N_0$, $$b_n>\frac{c}{2}$$ Ahora tome $K>0$; desde $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ existe $N$ tal que $N>N_0$ y, para todos los $n>N$, $a_n>2K/c$. Entonces, para $n>N$, $$a_nb_n>\frac{2K}{c}\frac{c}{2}=K$$

En su caso, $$\lim_{n\to\infty}n=\infty \qquad \lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{n}=1$$ y por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}n\cos\frac{1}{n}=\infty$$

Nota, sin embargo, que ninguna regla puede ser declarada de al$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$$\lim_{n\to\infty}b_n=0$.

Answer 2

Asumir que el $\lim_{n}a_{n}=a$ y $\lim_{n}b_{n}=\infty$ $a\in(0,\infty)$, entonces dado $M>0$, encuentran un entero positivo tal que $b_{n}>M$ % todos $n\geq N$. Eligiendo suficientemente grande $N$, también tenemos para todas las $n\geq N$, $|a_{n}-a|<\dfrac{a}{2}$ %. Entonces $a_{n}b_{n}>\dfrac{a}{2}\cdot b_{n}>\dfrac{a}{2}\cdot M$, $M>0$ es arbitrario, esto prueba $\lim_{n}a_{n}b_{n}=\infty$.