¿Es transitiva "open subfunctor"?

Question

En espacios topológicos si $U \subseteq V \subseteq X$ $U$ abierta en $V$ $V$ abierta en $X$ $U$ abierta en $X$. Mi pregunta es, es esto cierto si tenemos en lugar de hablar acerca de abrir subfunctors?

Recordar que en el functorial aproximación a la geometría algebraica nos fijamos en functors de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de conjuntos. Si $A$ es un anillo y $\mathfrak a \leq A$ a un ideal, a continuación, definimos $$\mathrm{Spec} \ A = \hom(A, -)$$ $$D(\mathfrak a) = \{f \in \hom(A, -) \ | \ f(\mathfrak a) \ \text{generates the unit ideal}\}$$ y, a continuación, un subfunctor $U \subseteq X$ es abierto si para todos los mapas de la forma $\phi\colon\mathrm{Spec} \ A \to X$ tenemos $\phi^{-1}(U) = D(\mathfrak a)$ por algún ideal $\mathfrak a$.

Uno puede demostrar fácilmente que la abra subfunctors de $\mathrm{Spec} \ A$ son exactamente los subfunctors de la forma $D(\mathfrak a)$ por algún ideal $\mathfrak a$. Creo que la declaración anterior es equivalente a la afirmación de que la abra subfunctors de $D(\mathfrak a)$ son todos de la forma$D(\mathfrak b)$, así por lo que es suficiente para probar el afín caso, pero incluso allí, no estoy seguro de cómo proceder.

Mucho de lo que he leído acerca de las functorial enfoque parece tomar este hecho por sentado, tomando un afín abra la cubierta $\{V_i\}$ de un esquema de $X$ y, a continuación, trabajar con abrir subconjuntos $U \subseteq V_i$ si están abiertos en $X$. Así que parece que esto realmente debe ser cierto, porque yo la duda toda la literatura en el campo está roto, y pensé que la prueba debe ser fácil, pero estoy atascado...

Answer 1

Creo que debería funcionar como este:

Si $V \to U \to X$ están abiertos subfunctors, a continuación, tomar un mapa de $h_A \to X$ para algunos ring $A$. El pullback $U_A = h_A \times_X U$ representa un abrir subscheme de $Spec(A)$.

$U_A$ corresponde a un esquema que puede ser cubierta por cuñados $\{Spec(B_i)\}_{i \in I}$, lo $\{h_{B_i} \to U_A\}_{i \in I}$ es un Zariski de la cubierta. Mira los mapas de $h_{B_i} \to U_A \to U$. A continuación, $\{V_{B_i} = h_{B_i} \times_U V \to V\}_{i \in I}$ es un Zariski cubierta de $V$, y por otra parte, y el $V_{B_i}$ representa a abrir subschemes de la $Spec(B_i)$, que cubren $U$.

A continuación, sólo tiene que comprobar que si los espacios se $T_i$ cubrir un espacio de $T$ $S_i \hookrightarrow T_i$ están abiertos subespacios, a continuación, $S = \bigcup_i S_i \hookrightarrow T$ es un subespacio abierto.