Si $\Gamma$ es consistente y $\Gamma\not\vdash\phi$, entonces el $\Gamma\cup\{\neg\phi\}$ también es consistente. ¿Por qué?

Question

He leído esta respuesta, pero estaba un poco confundido por una de las deducciones. Se afirma que para algunos de primer orden de la teoría de la $\Gamma$ y declaración de $\phi$:

Si $\Gamma$ es consistente y $\Gamma\not\vdash\phi$, $\Gamma\cup\{\neg\phi\}$ es también coherente.

Esto se ve natural en la primera, y el autor afirmó que éste es por definición. Pero para mí es obvio que $\neg\phi$ no puede ser utilizado para deducir la $\phi$ cuando se combina con los otros axiomas en $\Gamma$. Puede alguien explicar? Me estoy perdiendo alguna definición o un punto obvio?

Answer 1

Me llegó a través de una solución al escribir la pregunta cuando la palabra clave de la Deducción del Teorema apareció en la barra lateral. Esto no era tan trivial (para mí) como se pensaba inicialmente. Así que me decidí a dar un auto-responder, pero estoy abierto las respuestas que muestran que esto puede ser mucho más evidente. Especialmente el "por definición" parte en el mencionado respuesta me parece una simplificación ahora.

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La Deducción del Teorema de los estados

Si $\Gamma\cup\{\phi\}\vdash\psi$,$\Gamma\vdash \phi\to\psi$.

El uso de este resultado, podemos justificar la deducción en cuestión.

Suponga $\Gamma\cup\{\neg\phi\}$ es inconsistente y por lo tanto resulta $\phi$. La Deducción del Teorema da que podemos concluir $\Gamma\vdash \neg\phi\to\phi$. Esta última afirmación es equivalente a $\phi\lor\phi$ $-$ o, simplemente,$\phi$. Así que hay una prueba de $\phi$ $\Gamma$ solo. $\;\square$

Answer 2

Por favor, tenga en cuenta que usted está pidiendo a dos preguntas diferentes aquí.

En algún momento te preguntas por qué usted no será capaz de deducir $\phi$ si se añaden $\neg \phi$ $\Gamma$...y cómo el autor del post se hace referencia a la muestra de que "por definición". Así, la definición utilizada aquí es que un conjunto de enunciados es consistente si y sólo no hay ninguna declaración de tal manera que la declaración, así como la negación de que la declaración puede ser derivada a partir de ese conjunto de instrucciones. Por lo tanto, ya que es obvio que $\neg \phi$ puede ser derivada de la $\Gamma \cup \{ \neg \phi \}$, entonces la consistencia de $\Gamma \cup \{ \neg \phi \}$ implica que el $\phi$ no puede ser derivado de $\Gamma \cup \{ \neg \phi \}$, mucho menos de $\Gamma$ solo.

Ok, pero tenga en cuenta que el último resultado es el contrario de lo que pregunte anteriormente en tu post, y lo que le pida en el título de tu post y, de hecho, lo que el autor debe haber argumentado, que es que si $\Gamma \not \vdash \phi$ $\Gamma \cup \{ \neg \phi \}$ es consistente. De hecho, es probable que usted está confundido acerca de la Respuesta que usted se refiere, ya que es, de hecho, no es una buena respuesta a la pregunta que se formuló allí. Ok, entonces, ¿cómo hacer que muestran lo que se debe mostrar? Bien, ver la respuesta de @M. de Invierno para una buena respuesta!

Answer 3

Tenga en cuenta que el argumento anterior uso no constructiva de la ley de reductio ad absurdum:

Deje $X\cup\{\neg\varphi\}$ ser un incoherente conjunto de fórmulas. A continuación,$X\cup\{\neg\varphi\}\vdash\varphi $, por lo que la Deducción Teorema da: $X\vdash\neg\varphi\rightarrow\varphi $. Pero reductio ad absurdum $(\neg\varphi\rightarrow\varphi)\rightarrow \varphi $ es clasically válido, por lo que por Modus Ponens, $X\vdash\varphi $. $\blacksquare$

Este teorema no es cierto en Intuitionistic Lógica. De hecho, $\not\vdash_{INT}p\vee\neg p$, pero $\{\neg(p\vee\neg p)\}$ es incompatible:

supongamos que existe un número finito de Kripke modelo de $K$, y un mundo,$x\in K$, de tal manera que $x\Vdash \neg(p\vee\neg p)$. Luego de tomar un elemento maximal $y$$x$,$y\not\Vdash p\vee\neg p$, que es mpossible. $\blacksquare$

En Intuitionistic Lógica de la forma más débil sostiene: Si $X\cup\{\varphi\}$ es inconsistente, entonces a $X\vdash_{INT}\neg\varphi $.