El ejercicio es tal: Dado que $|\vec{a}| = 3$ , $|\vec{b}| = 2$ y $\varphi = 60^{\circ}$ (el ángulo entre los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ), calcule el producto escalar $(\vec{a}+2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})$ .
Mi idea inicial era resolver el producto solicitado "pegando" fragmentos calculados por separado y luego seguir el definición del producto escalar, que es
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi.$$
A través de la observación
$$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos0^{\circ} = |\vec{a}|^2 \Longrightarrow |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$
podemos obtener valores de $|\vec{a}+2\vec{b}|$ y $|2\vec{a} - \vec{b}|$ ( ten en cuenta la notación: $a^2$ en este caso representa $a^2 = |\vec{a}|^2$ y $b^2 = |\vec{b}|^2$ ):
\begin {align*} | \vec {a}+2 \vec {b}| &= \sqrt {( \vec {a}+2 \vec {b}) \cdot ( \vec {a}+2 \vec {b})} = \sqrt {a^2 + 4| \vec {a}| \cdot | \vec {b}| \cdot \cos 60^{ \circ } + b^2} = \\ &= \sqrt {3^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac {1}{2}+2^2} = 5. \end {align*}
De la misma manera,
\begin |2 \vec {a} - \vec {b}| &= \sqrt {(2 \vec {a} - \vec {b}) \cdot (2 \vec {a} - \vec {b})} = \sqrt {4a^2 - 4| \vec {a}| \cdot | \vec {b}| \cdot \cos 60^{ \circ } + b^2} = \\ &= \sqrt {4 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac {1}{2} + 2^2} = 2 \sqrt {7}. \end {align*}
Ahora conectamos ambos resultados:
$$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a} + 2\vec{b}| \cdot |2\vec{a} - \vec{b}| \cdot \cos60^{\circ} = 5 \cdot 2\sqrt{7} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{7}.$$
Sin embargo, esto es no la solución correcta según mi libro de texto. El resultado correcto es $19$ . Lo pensé un poco y tomé un camino diferente:
\begin {align*} ( \vec {a} + 2 \vec {b}) \cdot (2 \vec {a} - \vec {b}) &= \vec {a} \cdot 2 \vec {a} - \vec {a} \cdot \vec {b} + 4 \vec {a} \cdot \vec {b} - 2 \vec {b} \cdot \vec {b} = \\ &=2a^2 - | \vec {a}| \cdot | \vec {b}| \cdot \cos 60^{ \circ } + 4 | \vec {a}| \cdot | \vec {b}| \cdot \cos 60^{ \circ } - 2b^2 = \\ &= 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 2 \cdot \frac {1}{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac {1}{2} - 2 \cdot 2^2 = 19. \end {align*}
El segundo método ha funcionado claramente, mientras que el primero ha fracasado estrepitosamente. Pero mi pregunta es ¿por qué fracasó mi primera aproximación? ¿He obtenido resultados erróneos al calcular $|\vec{a}+2\vec{b}|$ y $|2\vec{a} - \vec{b}|$ ? No tengo ni idea. Por favor, ayúdenme a entender mis errores. Gracias de antemano.
