Navidad matemáticas 2017: El valor de una $\color{red}m^{\color{green}{ince}\ \color{orange}{\pi}}$ y $\color{red}\pi^{\color{green}{ie}}$

Question

¡En el espíritu de las fiestas!

(i) evaluar

$$\large \color{red}m^{\color{green}i\color{orange}n\color{red}c\color{green}e\;\color{red}\pi}$$

teniendo en cuenta que

$m = 12\; \; \text {(mes cuando se consumen pasteles de picadillo)} \\ n = 5\; \; \text {(número de puntos de la estrella en un pastel de carne picada)} \\ c = 2.997\times 10 ^ {8} s ^ {-1} \; \text {(tasa a la que se consumen pasteles de picadillo!)} \\ $

(ii) es bien sabido que $e^{i\pi}=-1$, pero cuál es el valor de

$$\large\color{red}\pi^{\color{green}{ie}}$$

?

¡Feliz Navidad!

Answer 1

[Una respuesta parcial]

Parte $2$:

$$\pi^{ie} = e^{ie \log \pi} = \cos(e\log \pi) + i\sin(e\log \pi) \approx \color{red}{-1} + 0.03i$$

Answer 2

i) $$m^{ince\pi}=e^{ince\pi\ln m}=\cos(\pi nce\ln m)+i\sin(\pi nce \ln m)$ $ ahora simplemente conectar los valores y evaluar :)

II) Similarly$$\pi^{ie}=e^{ie\ln\pi}=\cos(e\ln\pi)+i\sin(e\ln\pi)=-0.99955...+0.02988...i$$ which is actually quite close to $e^{i\pi}$.

Answer 3

Primera parte: forma polar $$y=e^{ie\cdot nc\pi\cdot\ln{m}}$ $ $$y=e^{i\cdot(e\cdot nc\pi\cdot\ln{m})}$ $ reconociendo de Euler para la forma compleja: $$y=\cos(e\cdot nc\pi\cdot\ln{m})+i\cdot \sin(e\cdot nc\pi\cdot\ln{m})$ $

Segunda parte:

Forma polar de $$y=e^{ie\cdot\ln{\pi}}$ $ $$y=e^{i(e\cdot\ln{\pi})}$ $ reconociendo de Euler para la forma compleja: $$y=\cos{(e\ln\pi)}+i\cdot\sin{(e\ln\pi)}$ $

Ahora se puede comer este $\pi^{ie}$ ;)

Answer 4

$\color{blue}{\text{ii}}$

$$\large\color{red}\pi^{\color{green}{ie}}=\left(\color{green}e^{\ln(\color{red}\pi)}\right)^{\color{green}{ie}}=\left(\color{green}e^{\color{green}{i}\color{red}{\pi}}\right)^{\frac{\color{green}{e\color{black}{\ln(}\color{red}\pi\color{black})}}{\color{red}\pi}}=\big(-1\big)^{\frac{\color{green}{e\color{black}{\ln(}\color{red}\pi\color{black})}}{\color{red}\pi}}.$$