¿Cuál es el origen del determinante en el álgebra lineal?

Question

A menudo aprendemos en un curso estándar de álgebra lineal que un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Podemos definir el determinante también diciendo que es la suma de todas las configuraciones posibles que escogen un elemento de una matriz de diferentes filas y diferentes columnas multiplicado por (-1) o (1) según las inversiones numéricas.

¿Pero cómo se deriva esta noción de "determinante"? ¿Qué es un determinante, en realidad? Busqué en la historia del determinante y parece que es anterior a las matrices. ¿Cómo surgió la definición moderna de un determinante? ¿Por qué necesitamos multiplicar algunos términos de la suma del determinante por (-1) en base al número de inversiones? No puedo entender la motivación que creó los determinantes. Podemos definir los determinantes y ver sus propiedades, pero quiero entender cómo se definieron y por qué se definieron para tener una mejor idea de su importancia y aplicación.

Answer 1

Normalmente tengo dos maneras de ver los determinantes sin apelar a las matemáticas de alto nivel como las formas multilineales.

La primera es geométrica, y creo que la mayoría de las clases de cálculo vectorial de hoy en día deberían enseñar esta interpretación. Es decir, que, dados los vectores $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n$ dictando los lados de un $n$ -El volumen de este paralelepípedo viene dado por $\det(A)$ , donde $A = [v_1 \ldots v_n]$ es la matriz cuyas columnas están dadas por esos vectores. Podemos entonces ver el determinante de una matriz cuadrada como una medida de la propiedad de escalado de volumen de la matriz como un mapa lineal en $\mathbb{R}^n$ . A partir de aquí, quedaría claro por qué $\det(A) = 0$ equivale a $A$ no siendo invertible - si $A$ toma un conjunto con volumen positivo y lo envía a un conjunto con volumen cero, entonces $A$ tiene alguna dirección a lo largo de la cual "aplana" puntos, que sería precisamente el espacio nulo de $A$ . Desgraciadamente, tengo la impresión de que esta interpretación es al menos semimoderna, pero creo que este es uno de los casos en los que el punto de vista moderno podría ser mejor para enseñar a los nuevos estudiantes que el punto de vista antiguo.

El antiguo punto de vista es que el determinante es simplemente el resultado de intentar resolver el sistema lineal $Ax = b$ cuando $A$ es cuadrado. Lo más probable es que sea así como se descubrió el determinante por primera vez. Para derivar el determinante de esta manera, escriba la matriz genérica y luego proceda por eliminación gaussiana. Esto significa que hay que elegir las entradas principales no nulas de cada fila (los pivotes) y utilizarlas para eliminar las entradas siguientes. Cada vez que eliminas las filas, tienes que multiplicar por un denominador común, así que después de hacer esto $n$ veces, terminará con la suma de todas las permutaciones de entradas de diferentes filas y columnas por el mero hecho de haber multiplicado para obtener denominadores comunes. El $(-1)^k$ El cambio de signo viene del hecho de que en cada etapa de la eliminación gaussiana, estás restando. Así que en el primer paso estás restando, pero en el segundo estás restando una resta, y así sucesivamente. Al final, por eliminación gaussiana, obtendrás una forma escalonada (triangular superior), y uno sabe que si alguna de las entradas de la diagonal es cero, entonces el sistema no tiene solución única; la última entrada de la diagonal será precisamente el determinante por el producto de los valores de los pivotes utilizados anteriormente (hasta un signo, quizás). Como los pivotes elegidos son siempre distintos de cero, no afectará a que la última entrada sea o no cero, por lo que se pueden dividir.

EDIT: No es tan sencillo como creía, aunque funcionará si llevas la cuenta de los valores no nulos por los que multiplicas tus filas en la eliminación gaussiana. Mis disculpas si he confundido a alguien.

Answer 2

El determinante fue originalmente "descubierto" por Cramer al resolver los sistemas de ecuaciones lineales necesarios para determinar los coeficientes de una curva polinómica que pasa por un conjunto dado de puntos. La regla de Cramer, para dar la solución general de un sistema de ecuaciones lineales, fue un resultado directo de esto.

Esto aparece en Gabriel Cramer, ``Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques'' (Introducción al análisis de las curvas de líneas algebraicas), Geneve, Ches les Freres Cramer & Cl. Philibert, (1750). Se cita como nota a pie de página en la p. 60, que dice (del francés):

``Creo que he encontrado [para resolver estas ecuaciones] una regla muy sencilla y general, cuando el número de ecuaciones e incógnitas no pasa del primer grado [por ejemplo, son lineales]. Se encuentra en el Apéndice nº 1". El Apéndice nº 1 aparece en la página 657 del mismo texto. El texto está disponible en línea, para los que saben leer francés.

La historia del determinante aparece en Thomas Muir, ``The Theory of Determinants in the Historical Order of Development'', Dover, NY, (1923). También está disponible en línea.

Answer 3

No conozco la historia real del determinante, pero creo que está muy bien motivado. Desde mi punto de vista, en realidad son esas propiedades del determinante las que tienen sentido. Luego se deriva la fórmula a partir de ellas.

Permítanme comenzar tratando de definir el "volumen firmado" de un hiperparalelepípedo cuyos lados son $(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ . Llamaré a esta función $\det$ . (No tengo ni idea de por qué se llama "determinante". Wiki dice que Cauchy fue quien empezó a utilizar el término en el sentido actual). Aquí hay algunas observaciones sobre $\det$ que considero bastante natural:

1. El hipercubo unitario cuyos lados son $(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ , donde $e_i$ son vectores base estándar de $\mathbb R^n$ , debe tener un volumen de $1$ .
2. Si uno de los lados es cero, el volumen debe ser $0$ .
3. Si se varía un lado y se mantienen fijos los demás, ¿cómo cambiaría el volumen firmado? Puedes pensar en un caso 3D cuando tienes un paralelogramo plano definido por vectores $u_1$ y $u_2$ como base de una forma sólida, entonces trata de extender la dirección de la "altura" por el tercer vector $u_3$ . ¿Qué sucede con el volumen a medida que se escala $u_3$ ? Además, considere lo que sucede si tiene dos vectores de altura $u_3$ y $\hat u_3$ . $\det(u_1, u_2, u_3 + \hat u_3)$ debe ser igual a $\det(u_1, u_2, u_3) + \det(u_1, u_2, \hat u_3)$ . (Aquí es donde necesita que se firme su función de volumen).
4. Si añado un múltiplo de un lado, digamos $u_i$ , a otro lado $u_j$ y reemplazar $u_j$ por $\hat u_j = u_j + c u_i$ el volumen firmado no debería cambiar porque la adición a $u_j$ está en la dirección de $u_i$ . (Piensa en cómo un rectángulo puede convertirse en un paralelogramo de igual área).

Con estas tres propiedades, se obtienen propiedades conocidas de $\det$ :

1. $\det(e_1, \ldots, e_n) = 1$ .
2. $\det(u_1, \ldots, u_n) = 0$ si $u_i = 0$ para algunos $i$ .
3. $\det(u_1, \ldots, u_i + c\hat u_i, \ldots, u_n) = \det(u_1, \ldots, u_i, \ldots, u_n) + c\det(u_1, \ldots, \hat u_i, \ldots, u_n)$ .
4. $\det(u_1, \ldots, u_i, \ldots, u_j, \ldots, u_n) = \det(u_1, \ldots, u_1, \ldots, u_j + cu_i, \ldots, u_n)$ . (Puede ocurrir que $j < i$ .)

A continuación, se puede derivar la fórmula de $\det$ . Puedes utilizar estas propiedades para deducir otras más fáciles de usar (en mi opinión):

• Al intercambiar dos columnas se cambia el signo de $\det$ .

Esto debería indicarte por qué la imparidad y la paridad de las permutaciones son importantes. Para calcular (ineficientemente) el determinante $\det(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ , escriba $u_i$ como $u_i = \sum_{j=1}^n u_{ij}e_j$ y expandirse por multilinealidad. Por ejemplo, en el caso 2D,

$$ \begin{align*} \det(u, v) & = \det(u_1e_1 + u_2e_2, v_1e_1 + v_2e_2) \\ & = u_1v_1\underbrace{\det(e_1, e_1)}_0 + u_1v_2\underbrace{\det(e_1, e_2)}_1 + u_2v_1\underbrace{\det(e_2, e_1)}_{-1} + u_2v_2\underbrace{\det(e_2, e_2)}_0 \\ & = u_1v_2 - u_2v_1. \end{align*} $$

(Si no está familiarizado con la multilinealidad, piense en ella como un producto. Ignore la palabra $\det$ de la segunda línea y se obtiene una simple ampliación de productos. Entonces se evalúa el "producto inusual" entre vectores $e_i$ por la definición de $\det$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que el orden es importante, ya que $\det(u, v) = - \det(v, u)$ .)