Deje $k$ ser un campo. La costumbre de la motivación para la topología de Zariski en el espacio afín $\mathbb{A}^n(k)$ es que es el más áspero de la topología para que el algebraicas conjuntos, el cero loci de polinomios, están cerradas.
Esto puede ser expresado en los más topológico o categóricos términos: podemos caracterizar la topología de Zariski en $\mathbb{A}^n$ como la topología inicial con respecto a todos los mapas en $k$, si queremos dotar a $k$ con la topología en la que la única trivial conjunto cerrado es $0$. Llame a esta topología $\tau,$ $\tau =\{\varnothing,k^\times,k\}.$
Existen otras topologías $k$ podría llevar para que la topología de Zariski es la topología inicial para regular los mapas en a $k$, incluyendo, por ejemplo, la topología de Zariski en $\mathbb{A}^1\cong k.$, Pero para los fines de la parsimonia, la motivación de la definición de la topología de Zariski, yo prefiero usar $\tau$, que es el más áspero de la topología en $k$ con esta propiedad.
¿Este espacio topológico $(k,\tau)$ ocurren en la literatura, o tiene un nombre? Hay una natural o intrínseca algebraicas justificación para esta topología (lo que podría significar)? Parece una expresión algebraica analógica de Sierpiński espacio, en el que se clasifica a abrir conjuntos en la categoría regular.
La única intrínseca de la topología de que sé que es un anillo arbitrario es el $I$-ádico de la topología. Pero el único ideal de un campo es el cero ideal, y el $I$-ádico de la topología de la cero ideal da la topología discreta. Por lo $\tau$ no es la $I$-ádico de la topología.
Yo no veo ninguna manera de ver las $\tau$ como la topología de Zariski en $k$, que, si existió, debe ser el cero loci de la constante de polinomios, por lo tanto la topología trivial. En realidad eso no es correcto, que no es la topología de Zariski en $k$, la topología de Zariski está correctamente asignado a $\mathbb{A}^0=\text{pt}$, no $k$, que es el lugar de su anillo de coordenadas. De todos modos, $\tau$ no es la topología trivial.
Podríamos identificar a $k$$\mathbb{A}^1,$, pero la topología de Zariski en $\mathbb{A}^1$ es generalmente el cofinite la topología, que ha $\lvert k\rvert$ muchos cerrada puntos, mientras que el $(k,\tau)$ tiene sólo uno. Por lo $\tau$ no es la topología de Zariski.
Tengo la esperanza de proporcionar una motivación intrínseca para esta topología $\tau$$k$, para utilizar a su vez para motivar la definición de la topología de Zariski de las anteriores principios, por lo que incluso si pudiéramos verlo como la Zariski (que, de nuevo, no veo cómo podemos), estoy esperando oir una justificación diferente.
