Intuición detrás de álgebra

Question

Cuando probar, o simplemente recta hasta la resolución de las ecuaciones, que a menudo manipular las variables hasta que se obtienen los resultados que queremos. Por ejemplo, la raíz cuadrada del discriminante es simplemente una manipulación algebraica para obtener el resultado de la distancia (o diferencia) entre las raíces. Sin embargo, existe la intuición detrás de esta manipulación? Yo por qué Álgebra obras en el primer lugar, pero al ver en acción, las manipulaciones tan compleja como la de los implicados en conseguir el discriminante, me hace perder el sentido de lo que realmente sucede dentro de los números.

Answer 1

Una ecuación como $x+4 = 3x$ es verdadera para algunos valores de $x$ y falsa para otros.

Por ejemplo, esta ecuación es falsa por $x := 1$, debido a que

$$(x+4 = 3x)(x:=1) \iff 1+4= 3\cdot 1 \iff 5 =3 \iff \mathrm{False}.$$

Mientras que es cierto para $x:=2$, debido a que

$$(x+4 = 3x)(x:=2) \iff 2+4= 3\cdot 2 \iff 6 = 6 \iff \mathrm{True}.$$

En resumen, cada ecuación se asocia con una función que se asigna a algunos valores de $x$ a True y otros valores de $x$ a False.

Cuando se resuelven ecuaciones, de llevar a cabo manipulaciones que preservar esta función.

Por ejemplo, la ecuación de $x+3 = 5$ está asociado a una función que se asigna a algunos valores de $x$ a los Verdaderos y otros Falsos. Y la ecuación de $x = 5-3$ también está asociada a una función que se asigna a algunos valores de $x$ a los Verdaderos y otros Falsos.

Además, estas funciones son las mismas.

En otras palabras, si $x+3=5$ devuelve True para algunos la elección de $x$, por lo que también $x=5-3$, y viceversa. Y si $x+3=5$ devuelve False para algunos la elección de $x$, por lo que también $x=5-3$, y viceversa.

Esto puede no sonar demasiado profundo, pero que nos permite encontrar los valores exactos para que una ecuación es verdadera. Si escribo $3x+6 = 0$, es un poco misterioso que los valores de $x$ hacen de esta Verdad. Pero yo escribo $x=5$, es muy obvio. Por ejemplo:

$$(x = 5)(x:=5) \iff 5 = 5 \iff \mathrm{True}$$

$$(x = 5)(x:=4) \iff 4 = 5 \iff \mathrm{False}$$

Sorpresa, sorpresa, la ecuación de $x=5$ parece ser cierto para $x:=a$ si $a$ es igual a $5$, y false de lo contrario.

Lo que esto significa es que si me repetidamente puede transformar $3x+6= 0$ a un formulario como $x=5,$ entonces puedo averiguar qué opciones de $x$ hacer realidad muy fácilmente. Esto es lo que la resolución de las ecuaciones es todo acerca de.

Por ejemplo, si yo escribo $$3x+6 = 0 \iff 3x = -6 \iff x = -6/2 \iff x = -2,$$

esta instantáneamente me dice que $3x+6=0$ es Cierto para $x:=-2$ y False en caso contrario.

Eso es realmente todo lo que el álgebra es; se trata de la manipulación de las condiciones para que la condición no ha cambiado, sólo la forma en que he escrito ha cambiado. La manera en que hemos escrito la expresión final nos puede decir algo útil acerca de la expresión original que no era evidente hasta que se realizaron las manipulaciones.

Answer 2

En el ejemplo que usted ha mencionado, se puede entender lo que está pasando observando la gráfica de la parábola con la ecuación de $y = ax^2 + bx + c$. No es difícil ver que el vértice de la parábola está en el punto donde $$ x = - \frac{b}{2a} \quad ; \quad y = -\frac{b^2-4ac}{4} $$ Hay una mejor explicación aquí. Así, se puede entender el álgebra mirando a la geometría. Y (para mí, de todos modos), el desarrollo de la intuición acerca de la geometría no es muy duro porque yo puedo sacar fotos.

Por otro lado, hay algebraica de los procesos a los que es difícil sacar fotos. O, al menos, no sé cómo dibujar (me encantaría aprender). En esos casos, el álgebra se convierte (para mí) un misterioso proceso de la transposición de símbolos a su alrededor, que está desprovista de cualquier intuición.

Diferentes personas tienen diferentes tipos de "intuición", y desarrollar de diferentes maneras. A mi manera (dibujos) podría no ser la mejor manera para usted.

Answer 3

"Todo descubrimiento contiene un elemento irracional o creativo intuición". - Karl Popper

Si nos fijamos en la moderna derivación de la fórmula cuadrática, podemos ver manipulaciones algebraicas que probarlo, pero que no podría sentir la intuitiva de la esencia que trae a la luz. Ahora, la cadena de "motivación-la intuición-descubrimiento" es una experiencia personal. Pero sólo por diversión, sólo el uso de una expresión algebraica enfoque, dediquémonos a 'descubrir' cómo solucionar $ax^2+bx+c = 0 \text{ , } a \ne 0$ en dos formas diferentes.

Método 1:

A nosotros nos hace felices que podemos resolver ecuaciones como $x^2 = 2$ y cuando podemos generalizar, hay dos soluciones para

$\tag 1 ax^2 = -c \text{ with } a \text{ and } c \text{ of opposite signs}$

es decir, $x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}$.

En un destello de comprensión (cambio de variable), nos damos cuenta de que podemos "fabricar" más interesante de ecuaciones de segundo grado con soluciones. Por ejemplo,

$\tag 2 2 (x+3)^2 = 4$

tiene dos soluciones, $x = -3 \pm \sqrt2$, y (2) puede también ser expresado como $2x^2 +12x +14 =0$.

Con gran esperanza, ahora nos decimos a nosotros mismos que podemos de alguna manera la "fuerza" de cualquier ecuación cuadrática en un '(1)/(2) el patrón' y obtener la solución(s):

$\quad ax^2+bx+c = 0 \; \text{ iff }$

$\quad x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \; \text{ iff }$

$\quad (x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} \; \text{ iff }$

$\quad (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \; \text{ iff }$

$\quad x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a}} \; \text{ iff }$

$\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

Este método es conocido como "completar el cuadrado".

Método 2

No hay nada en el mundo que el amor más que la factorización de ecuaciones cuadráticas, pero a veces la solución escapa. Entonces un día te dicen

$\quad x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a} = (x-s)(x-t) \; \text{ iff }$

$\quad -(s + t) = \frac{b}{a} \text{ AND } st = \frac{c}{a}$

Ah, dos ecuaciones en dos incógnitas - ir a por ello! Usted ve un 'truco' para hacer las cosas

$\quad (s - t)^2 = (s + t)^2 - 4st = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a}$

Así que ahora están a un paso de encontrar que la distancia entre las dos raíces es igual a

$\tag 3 \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{|a|}$

Usted ahora está en 'limpiar' modo, el trabajo y los detalles de la fórmula cuadrática.

Este método es conocido como el " Así que quieres ver una factorización de hacer usted?'.

Answer 4

La fórmula cuadrática viene de completar el cuadrado. Hay un número de lugares para leer la prueba que conduce a ella, pero el paso en el medio que conduce a el discriminante es

$$\left(x - \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{ b^2 - 4 a c}{4a^2}$$

Si queremos ser capaces de resolver por $x$ aquí, vamos a necesitar a la raíz cuadrada de ambos lados (y, a continuación, agregue $b/2a$). Pero, ¿qué sucede cuando nos raíz cuadrada del lado derecho depende de si es positivo, negativo o cero. Desde $4a^2$ siempre es positivo, el signo de la mano derecha es en realidad el signo del numerador. Es por eso $b^2-4ac$ es el discriminante. Si es positivo o cero, podemos seguir adelante como normal, y obtener uno o dos reales número de soluciones para $x$. Si es negativo, la plaza de enraizamiento nos dará un número complejo, por lo que la cuadrática tendrá ningún reales soluciones. (La palabra crucial no es "real", ya que no tienen solución en los números complejos.)

Otra manera de ver esto es que se está resolviendo la ecuación cuadrática por encontrar el punto medio entre sus raíces, luego de ir arriba y abajo por una distancia fija. Que distancia fija está relacionado con el discriminante, así que si usted piensa geométricamente, tal vez que pueden ayudar a poner en contexto para usted. En el caso de dos raíces reales, $-b/2a$ es el punto medio entre las raíces, y $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ el (positivo) de la distancia entre el punto medio y de cada raíz. En el caso de una raíz real, $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ es cero. (Esto tiene sentido: la raíz es exactamente el punto medio $-b/2a$, y usted se está moviendo hacia arriba y hacia abajo por $0$.) Y en el caso de que no hay raíces reales, $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ resulta ser un número complejo, por lo que esta construcción no funciona en la recta real.

Answer 5

No creo que la fórmula cuadrática es el mejor lugar para "ver" la intuición en el trabajo, porque es así que muchos de los pasos en uno. Mi intuición para cuadráticas viene de gráfico sentido, cuando me lo puedo imaginar "vértice". Por ejemplo, considere las dos ecuaciones:

$$y_1=x^2-6x+5=0$$

y

$$y_2=x^2-6x+13=0$$

Sé que $y=x^2-6x+9$ sería un cuadrado perfecto, con su vértice en $(3,0)$. Busca en nuestras funciones, $y_1$ $4$ unidades demasiado bajo, y $y_2$ $4$ unidades demasiado alto. En un estándar de la parábola $(a=1)$, cuatro verticales unidades, $\sqrt4=2$ horizontal de las unidades de distancia desde ese punto de $(3,0)$ es donde debemos encontrar nuestro intercepta.

Dejando $4$ unidades, nuestra $x$-intercepta para $y_1$ extiende a lo largo de la $x$-eje, por lo que tendremos soluciones en$1$$5$, dos unidades a cada lado de la $3$. Para $y_2$, por otro lado, las soluciones que se propagan a la misma distancia de la recta real, por lo $3+2i$ $3-2i$ debe ser de nuestras soluciones.

Lo que si que $+13$ lugar $+12$? A continuación, sólo hemos levantado $3$ unidades fuera del eje, por lo que las soluciones se $3\pm\sqrt3 i$.

Lo que si $a\ne 1$? Que complica el panorama, en formas que pueden ser manipulados, pero no voy a desarrollar una buena intuición sobre eso hasta que me tienen bastante buena intuición acerca de la $a=1$ de los casos. La intuición se basa como roca sedimentaria, no como un rascacielos.