Entiendo que $dy/dx$ representa cómo cambia $y$ $x$ cambios. Pero ¿qué significa $dx$ en aislamiento? Me han dicho que significa un cambio infinitamente pequeño en $x$ sin $dx$ ser cero. Me gustaría una definición más rigurosa.
Respuestas
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En el perview de los llamados "análisis estándar", $dx$ es sólo una notación. $dy/dx$ es sólo una notación para la derivada de una función $y = y(x)$ $\int f(x) \, dx$ anti-derivado de la $f$. A menudo puede ser intuitivamente útil pensar en las $dx$ como un "cambio infinitesimal en $x$" pero esto es sólo una informal intuición. (Que a menudo conduce a la respuesta correcta, pero puede conducir a problemas: véase, por ejemplo, este y este y los enlaces en el mismo.)
Hay un campo de los llamados anormales de análisis que tiene como objetivo que el concepto de una longitud infinitesimal matemáticamente precisos y, a continuación, procede a utilizar esto para definir rigurosamente cálculo. Para los no-estándar de análisis rigurosamente no es muy trivial, sin embargo. (Sólo fue desarrollado en los años 60.)
No hay una definición formal de los diferenciales como $dx$ en la teoría de las formas diferenciales. La teoría de las formas diferenciales es en cierta forma, de la manera "correcta" de hacer el cálculo multivariable. Es difícil dar una primaria de la caracterización de lo $df$ es en este enfoque sin un poco de contexto, pero el siguiente resumen debe ser una buena introducción al tema.
T. Gunn
Puntos
1203
Usted puede pensar en una ecuación de la forma
$$ df(x) = f'(x) dx $$
como diciendo que no importa lo que usted pone en la caja:
$$ \frac{df(x)}{d \square} = f'(x) \frac{dx}{d \square} $$
usted obtener un verdadero ecuación.
El término técnico para esto es $df$ es una "suave sección de la cotangente del paquete." Vamos a acabar con eso:
Primero la tangente paquete de $\mathbf{R}$ asigna a cada punto en $\mathbf{R}$ un conjunto de instrucciones que emanan de ese punto. Desde $\mathbf{R}$ es unidimensional, estos vectores tienen una sola dimensión (su longitud con un signo de $\pm 1$). Para cada punto de $p \in \mathbf{R}$ tenemos los vectores de tangentes que toman la forma
$$ (p, v) $$
donde $v$ es un número real (tratada como un vector). Por ejemplo, $(2, -1/2)$ es el vector tangente que comienza en el punto de $2$ y puntos con una longitud de $1/2$ en la dirección negativa.
La cotangente bundle $df = df$ es una operación que se aplican a vectores de tangentes. Específicamente, para cada vector tangente $(p, v)$ la operación es
$$ (df)(p,v) = v\left.\frac{df}{dx}\right|_p. $$
Este es el derivado de la $f$ con respecto al $x$ en el punto de $p$ multiplicado por el $v$. Esta es la razón por la una notación común para el vector tangente $(p,v)$ es
$$ v\left.\frac{d}{dx} \right|_p. $$
Esto empieza a tener más sentido cuando se tiene más de una variable. Por ejemplo, supongamos que se tienen dos variables$x$$y$. Entonces cada vector tangente se parece a $$u \left.\frac{\partial}{\partial x} \right|_p + v \left.\frac{\partial}{\partial y} \right|_p$$ que es el vector que apunta con una longitud de $u$ $x$ dirección de e $v$ $y$ dirección. Esta es la manera de hacer el "relleno en el cuadro de la" analogía rigurosa. Estamos diciendo que podemos llenar la caja con $x$ o $y$ y obtener una verdadera ecuación: $$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial \square} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \square} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \square} $$
Las palabras suaves sección significa que estamos considerando qué ocurre si cambiamos $p$. Por ejemplo, tenemos la
$$ (dx^2)(p,v) = 2pv $$
y esto tiene sentido por más de un valor de $p$. De hecho, tiene sentido para todos los $p$. Por otra parte, la función de $2pv$ es una función suave de $p$. Esto es lo que la palabra "suave" se refiere.
Es importante señalar que $(df)(p,v)$ sólo depende de lo $f$ está haciendo "cerca" $p$. Es decir, la derivada de $f$ $p$ no cambia si cambiamos $f$ lejos de $p$ pero mantener la misma en $p$. Esto es lo que da $df$ "infinitesimal" de la naturaleza: el significado de "cerca" puede ser arbitrariamente pequeño. Podemos determinar el valor de $(df)(p,v)$ a sabiendas de que sólo el valor de $f$ en el intervalo de $p - 1/10 < x < p + 1/10$ o en el intervalo de $p - 1/1000 < x < p + 1/1000$ o incluso más pequeños intervalos.
