¿Cómo calcular el determinante de esta matriz de Toeplitz?

Question

Dado un número entero positivo $n$, express$ $ f_n(x) = \left|\begin{array}{c c c c c} 1 & x & \cdots & x^{n - 1} & x^n\\ x & 1 & x & \cdots & x^{n - 1} \\ \vdots & x & \ddots & \ddots & \vdots\\ x^{n - 1} & \vdots & \ddots & 1 & x\\ x^n & x^{n - 1} & \cdots & x & 1 \end{array}\right| $$ como un polinomio de $x$.

He intentado encontrar una relación de recurrencia de $\{f_n\}_{n \geqslant 1}$ mediante la expansión de Laplace, pero parece que no hay patrones en los menores de edad en la expansión. ¿Hay una relación de recurrencia algo simple de $\{f_n\}_{n \geqslant 1}$ o estos determinantes pueden ser computados con otros métodos?

Answer 1

La respuesta es: $f_n(x)=(1-x^2)^n$.

Usted puede probar por la inducción. Si restar la primera fila el otro $x$, todas las entradas de la primera línea después de la primera de ellas se convierten en $0$ (y el primero de ellos es $1-x^2$). Por lo tanto, $f_n(x)=(1-x^2)f_{n-1}(x)$. Desde $f_1(x)=1-x^2$, estamos listos.

Answer 2

Restar $x$veces fila $2$ de fila $1$, entonces tiempos de $x$ $3$ $2$ etcetera de la fila de la fila. Obtener una matriz triangular inferior con instancias de $n$ $1-x^2$ en la diagonal y un $1$.

Answer 3

Esto es simplemente una ilustración de la respuesta de José Carlos Santos.

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Restando el $x$ veces la segunda columna de la primera le da $$\begin{align} f_n(x) &=\det\begin{bmatrix} 1&x&x^2&x^3&\cdots&x^n\\ x&1&x&x^2&\cdots&x^{n-1}\\ x^2&x&1&x&\cdots&x^{n-2}\\ x^3&x^2&x&1&\cdots&x^{n-3}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x^n&x^{n-1}&x^{n-2}&x^{n-3}&\cdots&1 \end{bmatrix} \\ & = \det\begin{bmatrix} \color{#C00}{1-x^2}&x&x^2&x^3&\cdots&x^n\\ 0&\color{#090}{1}&\color{#090}{x}&\color{#090}{x^2}&\color{#090}{\cdots}&\color{#090}{x^{n-1}}\\ 0&\color{#090}{x}&\color{#090}{1}&\color{#090}{x}&\color{#090}{\cdots}&\color{#090}{x^{n-2}}\\ 0&\color{#090}{x^2}&\color{#090}{x}&\color{#090}{1}&\color{#090}{\cdots}&\color{#090}{x^{n-3}}\\ \vdots&\color{#090}{\vdots}&\color{#090}{\vdots}&\color{#090}{\vdots}&\color{#090}{\ddots}&\color{#090}{\vdots}\\ 0&\color{#090}{x^{n-1}}&\color{#090}{x^{n-2}}&\color{#090}{x^{n-3}}&\color{#090}{\cdots}&\color{#090}{1} \end{bmatrix}\\[6pt] y = \color{#C00}{\left(1-x^2\right)}\color{#090}{f_{n-1}(x)} \end{align} $$ desde $f_0(x)=1$, tenemos que f_n(x)=\left(1-x^2\right) $$ ^ n $$

Answer 4

Deje que la matriz de valores de la función $\mathrm M_1 : \mathbb R \to \mathbb R^{2 \times 2}$ se define de la siguiente manera

$$\mathrm M_1 (x) := \begin{bmatrix} 1 & x\\ x & 1\end{bmatrix}$$

y dejar que la matriz de valores de la función $\mathrm M_n : \mathbb R \to \mathbb R^{(n+1) \times (n+1)}$ ser definido por

$$\mathrm M_n (x) := \begin{bmatrix} \mathrm M_{n-1} (x) & \mathrm v_{n} (x)\\ \mathrm v_{n}^\top (x) & 1\end{bmatrix}$$

donde $\mathrm v_{n}^\top (x) := \begin{bmatrix} x^n & \cdots & x^2 & x\end{bmatrix}$. Deje que la función $f_n : \mathbb R \to \mathbb R$ ser definido por

$$f_n (x) := \det \mathrm M_n (x) = \det \begin{bmatrix} \mathrm M_{n-1} (x) & \mathrm v_{n} (x)\\ \mathrm v_{n}^\top (x) & 1\end{bmatrix} = \det \left( \mathrm M_{n-1} (x) - \mathrm v_{n} (x) \, \mathrm v_{n}^\top (x) \right)$$

El uso de la matriz de determinante lema,

$$f_n (x) = \underbrace{\det \left( \mathrm M_{n-1} (x) \right)}_{= f_{n-1} (x)} \cdot \left( 1 - \mathrm v_{n}^\top (x) \, \mathrm M_{n-1}^{-1} (x) \, \mathrm v_{n} (x) \right)$$

Deje $\mathrm y (x) := \mathrm M_{n-1}^{-1} (x) \, \mathrm v_{n} (x)$ ser la solución del sistema lineal $\mathrm M_{n-1} (x) \,\mathrm y (x) = \mathrm v_{n} (x)$. Desde $\mathrm v_{n} (x)$ es igual a la $n$-ésima columna de a $\mathrm M_{n-1} (x)$ multiplicado por el $x$, la solución es $\mathrm y (x) = x \, \mathrm e_n$. Por lo tanto,

$$f_n (x) = f_{n-1} (x) \cdot \left( 1 - \mathrm v_{n}^\top (x) \, \mathrm y (x) \right) = f_{n-1} (x) \cdot \left( 1 - x^2 \right)$$

Desde $f_1 (x) = 1 - x^2$, obtenemos $\color{blue}{f_n (x) = (1-x^2)^n}$, como se encuentra por José Carlos Santos a través de otros medios.