Existen cuatro polinomios con coeficientes reales por lo que esa suma de cada dos no tiene una raíz real, mientras que la suma de cada tres tiene una raíz real.
He visto un problema similar con seis polinomios Teorema de Ramsey, que podría demostrar que la respuesta es NO.
No, no hay ninguna de estas cuatro polinomios.
Se utilizan dos lemas (la prueba está escrito al final de la respuesta) :
Lema 1 : Si $P(x)+Q(x)\gt 0, P(x)+R(x)\gt 0$ todos los $x\in\mathbb R$, e $Q(x)+R(x)$ no tiene raíces reales, y existe un número real $\alpha$ tal que $P(\alpha)+Q(\alpha)+R(\alpha)=0$, $Q(x)+R(x)\lt 0$ todos los $x\in\mathbb R$.
Lema 2 : Si $P(x)+Q(x)\lt 0, P(x)+R(x)\lt 0$ todos los $x\in\mathbb R$, e $Q(x)+R(x)$ no tiene raíces reales, y existe un número real $\alpha$ tal que $P(\alpha)+Q(\alpha)+R(\alpha)=0$, $Q(x)+R(x)\gt 0$ todos los $x\in\mathbb R$.
Suponga que cuatro polinomios $P_1(x),P_2(x),P_3(x),P_4(x)$ satisfacer nuestra condición.
Podemos suponer que $$P_1(x)+P_2(x)\gt 0,\qquad P_1(x)+P_3(x)\gt 0$$ (Al menos dos de $P_1(x)+P_2(x),P_1(x)+P_3(x),P_1(x)+P_4(x)$ tienen el mismo signo. Podemos suponer que $P_1(x)+P_2(x)$ $P_1(x)+P_3(x)$ tienen el mismo signo. Si ambos son negativos, entonces podemos nombrar $-P_1(x),-P_2(x),-P_3(x),-P_4(x)$$P_1(x),P_2(x),P_3(x),P_4(x)$, respectivamente, de modo que tenemos $P_1(x)+P_2(x)\gt 0$$P_1(x)+P_3(x)\gt 0$.)
Desde el lema, tenemos $$P_2(x)+P_3(x)\lt 0$$
Supongo aquí que $P_1(x)+P_4(x)\gt 0$.
Entonces, desde el $P_1(x)+P_2(x)\gt 0$$P_1(x)+P_4(x)\gt 0$, se desprende del lema de que $P_2(x)+P_4(x)\lt 0$. Desde $P_2(x)+P_3(x)\lt 0$$P_2(x)+P_4(x)\lt 0$, se desprende del lema de que $P_3(x)+P_4(x)\gt 0$. Desde $P_1(x)+P_3(x)\gt 0$$P_3(x)+P_4(x)\gt 0$, se desprende del lema de que $P_1(x)+P_4(x)\lt 0$, lo que contradice $P_1(x)+P_4(x)\gt 0$.
Por lo tanto, tenemos $P_1(x)+P_4(x)\lt 0$.
Si $P_2(x)+P_4(x)\lt 0$, entonces ya tenemos $P_2(x)+P_3(x)\lt 0$, se desprende del lema de que $P_3(x)+P_4(x)\gt 0$.
Ahora, tenemos dos casos a considerar :
Caso 1 : $$P_1(x)+P_2(x)\gt 0,\quad P_1(x)+P_3(x)\gt 0,\quad P_2(x)+P_3(x)\lt 0$$ $$P_1(x)+P_4(x)\lt 0,\quad P_2(x)+P_4(x)\lt 0,\quad P_3(x)+P_4(x)\gt 0$$
En este caso, tenemos $$P_1(x)\gt -P_2(x)\gt P_3(x)\gt -P_4(x)\gt P_1(x)$$ lo cual es imposible.
Caso 2 :
$$P_1(x)+P_2(x)\gt 0,\quad P_1(x)+P_3(x)\gt 0,\quad P_2(x)+P_3(x)\lt 0$$ $$P_1(x)+P_4(x)\lt 0,\quad P_2(x)+P_4(x)\gt 0$$ En este caso, tenemos $$P_2(x)\lt -P_3(x)\lt P_1(x)\lt -P_4(x)\lt P_2(x)$$ lo cual es imposible.
Por último, vamos a demostrar el lema.
Lema 1 : Si $P(x)+Q(x)\gt 0, P(x)+R(x)\gt 0$ todos los $x\in\mathbb R$, e $Q(x)+R(x)$ no tiene raíces reales, y existe un número real $\alpha$ tal que $P(\alpha)+Q(\alpha)+R(\alpha)=0$, $Q(x)+R(x)\lt 0$ todos los $x\in\mathbb R$.
La prueba de lema 1 :
Desde $$Q(\alpha)=-(P(\alpha)+R(\alpha))\lt 0,\qquad R(\alpha)=-(P(\alpha)+Q(\alpha))\lt 0$$ tenemos $Q(\alpha)+R(\alpha)\lt 0$.
Supongamos que existe un número real $\beta$ tal que $Q(\beta)+R(\beta)\gt 0$.
Entonces, por el teorema del valor intermedio, $Q(x)+R(x)$ tiene al menos una raíz real, lo que se contradice con que $Q(x)+R(x)$ no tiene raíces reales.
Se sigue de esto que $Q(x)+R(x)\lt 0$ para todos los $x\in\mathbb R$.$\qquad\blacksquare$
Lema 2 puede ser demostrado en la manera similar a como lo de arriba.
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