Divergencia de Kullback-Leibler de escala central no estudiante ' distribución de s T

Question

¿Cuál es la Kullback-Leibler divergencia de las dos de la T de Student de las distribuciones que se han desplazado y han escalado? Es decir, $\textrm{D}_{\textrm{KL}}(k_aA + t_a; k_bB + t_b)$ donde $A$ $B$ son de la T de Student de las distribuciones.

Si hace las cosas más fáciles, $A$ podría ser una Gaussiana. (Que es, pudo haber infinitos grados de libertad.)

La motivación detrás de esta pregunta es que la escala no central de la T de Student la distribución es la parte posterior de la distribución predictiva de una distribución normal de los datos en que se desconoce la media y la varianza. Por lo tanto, me gustaría comparar la verdadera distribución de $k_aA + t_a$ con la estimación de $k_bB + t_b$.

Answer 1

Supongo que no puedo dejar comentarios todavía por lo que este tendrá que ser en la forma de una respuesta:

Suponiendo que las distribuciones tienen el mismo número de grados de libertad ($n$), creo que la respuesta será algo parecido (con algunos casos de abuso de notación)

$\mathcal{H}(k_aA + t_a \mid k_bB + t_b) = \log(\frac{k_b}{k_a}) + \frac{n+1}{2} \left( E[ \log(1 + (\frac{Yk_a + t_a - t_b}{k_b})^2 \frac{1}{n}) ] - E[ \log (1 + \frac{Y^2}{n}) ]\right) $,

donde la r.v. $Y$ tiene la t de Student distribución con $n$ grados de libertad. Si el número de grados de libertad se asume que la diferencia entre las dos distribuciones que usted conseguirá términos adicionales que corresponden al logaritmo de la "$\Gamma$-partes" de las funciones de densidad y en la fórmula anterior la $n$'s va a ser modificado en consecuencia. Expectativa todavía será w.r.t. la t de Student con $n$ gr. de la libertad (o cualquier grado que se asocia con la "r".v. $A$).