Cómo resolver ecuaciones de cuarto poder?

Question

Es posible recuperar manualmente el valor de $y$ a partir de la siguiente ecuación $$\color{blue}{153y^2-y^4=1296}$$

WolframAlpha tiene cuatro soluciones para $y$: $-12, -3, 3, 12$. Cómo se ha resuelto?

Lo que he logrado hasta ahora es la siguiente: $$y^2(153-y^2)=1296$$ Y... estoy atascado.

Answer 1

Un método es $x=y^2$ y reorganizar esto como una ecuación cuadrática $$x^2-153x+1296=0$$

Answer 2

Aquí está la solución:

$$y^4-153y^2 +1296 = 0$$

$$ y^4 -144y^2-9y^2+1296 = 0$$

$$ y^2(y^2-144) -9(y^2-144) = 0$$

$$ (y^2-9)(y^2-144)=0$$ $$ (y^2-3^2)(y^2-12^2)=0$$

tenga en cuenta que $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Se puede ver cómo ahora? Confío en que usted puede terminar el resto de

Answer 3

Mientras que el convertir-a-cuadrática enfoque funciona aquí, y otras respuestas han proporcionado este enfoque, vale la pena señalar que las soluciones racionales a cuárticas con coeficientes enteros funcionan de manera similar a cuadráticas.

Es decir, si usted tiene un cuarto grado de la forma $$ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 $$ donde todos los coeficientes son números enteros, entonces todas las soluciones racionales debe ser de la forma $$ x = \frac{\text{divisor de }e}{\text{divisor de }} $$ En este caso, tenemos $a=1$, $c=-153$, $e=1296$, y $b=d=0$. Así que buscamos una solución de la forma $$ x = \frac{\text{divisor de }1296}{\text{divisor de }1} $$ Como los únicos divisores de 1 son 1 y -1, sólo hay que mirar a valores enteros. 1296 tiene el primer factorización $$ 1296 = 2^4\times 3^4 $$ y a partir de aquí, sólo tenemos que empezar sustituyendo los valores de prueba hasta que nos encontramos con una raíz. Con $P(x)=x^4-153x^2+1296$, señalando que sólo los poderes de $x$ aparecen (y por lo tanto no necesitamos considerar los negativos por separado), tenemos $$ P(1) = 1 - 153 + 1296 = 1144 \neq 0\\ P(2) = 16 - 612 + 1296 = 700 \neq 0\\ P(3) = 81 - 1377 + 1296 = 0 $$ y por lo tanto $x=3$ es una solución. De nuevo destacar que sólo los poderes aparecen, podemos ver que $x=-3$ es también una solución. Es bastante trivial para continuar en este camino para encontrar las otras dos raíces, así.

Tenga en cuenta que este método no encontrar irracional raíces, sin embargo.