Esto parece otra buena pregunta de examen. Creo que la respuesta es sí porque no puedo pensar en una manera de hacerle romper porque el dominio se define para todos los $\mathbb{R}$. ¿Pensamientos?
Gracias de antemano.
Esta pregunta no es un duplicado, se trata del límite de la derivada a 0. Los otros dos citan no preguntas.
Gracias.
Sí, en realidad se puede concluir que. Si $h$ es un número real distinto de cero, entonces el valor medio teorema existe $x_h\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$$|x_h|<|h|$$\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=f'(x_h)$. Con la condición de obtener $$ f'(0)=\lim_{\substack{h\to0 \\ \neq}}\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\lim_{\substack{h\to0 \\ \neq}}f'(x_h)=L. $$ Tenga en cuenta que esto es muy notable; muchos comentarios señaló que esto no puede ser cierto porque entonces todos los derivados sería continua. Sin embargo, es una muestra de la más débil, pero sin embargo interesante propiedad de que, si el límite existe, entonces es continua. También tenga en cuenta que a priori que ni siquiera requieren $f$ a ser diferenciable en a $0$ (a pesar de que es, pero a posteriori).
Editar:
Como se señaló en los comentarios, hay dudas de $\lim_{\substack{h\to0 \\ \neq}}f'(x_h)=L$ ser verdad. Aquí está una precisión de la prueba:
Deje $\varepsilon>0$, luego por la suposición de $\lim_{\substack{h\to0 \\ \neq}}f'(h)=L$ existe $\delta>0$ tal que para todos los $h\in(-\delta,\delta)\backslash\{0\}$ hemos $$ |f'(h)-L|<\varepsilon. $$ Pero si $h\in(-\delta,\delta)\backslash\{0\}$ $|x_h|<|h|$ también hemos $x_h\in(-\delta,\delta)\backslash\{0\}$. Por lo tanto llegamos a la conclusión de $$ |f'(x_h)-L|<\varepsilon\qquad\forall h\(- \delta\delta)\barra invertida\{0\}. $$ Como $\varepsilon>0$ se ha elegido arbitrariamente, tenemos por lo tanto, obtener $$ \lim_{\substack{h\to0 \\ \neq}}f'(x_h)=L. $$
Sí, se puede, incluso con los más débiles supuestos en $f$.
Supongamos $f$ es continua en a $(a,b)$ y que es derivable en a$(a,b)$, excepto tal vez en $c\in(a,b)$. Si $\lim\limits_{x\to c}f'(x)=L$, $f$ es diferenciable también en$c$$f'(c)=L$.
De hecho, las funciones de $f(x)-f(c)$ $x-c$ satisfacer la hipótesis de l'Hôpital del teorema de a $c$, por lo que $$ \lim_{x\c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}= \lim_{x\c}\frac{f'(x)}{1}=L $$ Tenga en cuenta que la continuidad de la $f$ $c$ es crucial para ser capaz de aplicar l'Hôpital. No se realiza ninguna suposición sobre la continuidad de $f'$.
Tenga en cuenta también que $f$ puede ser diferenciable en a$c$, incluso si el límite en $c$ de la derivada no existe. El ejemplo estándar es$f(x)=x^2\sin(1/x)$$x\ne0$$f(0)=0$.
Teorema de
Supongamos que $f$ es continua en a $\mathbb{R}$ y diferenciable, excepto tal vez en $a\in \mathbb{R}$. Supongamos, además, que $\lim_{x\rightarrow a}f'(x)= L<\infty$ existe. A continuación, $f$ es diferenciable en a $a$ con derivados $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$.
Prueba: Vamos A $h>0$. $f$ es continua en a $[a,a+h]$ y diferenciable en a $ (a,a+h)$. Entonces, por el Valor medio Teorema, $\exists\,c_h\in(a,a+h)$ tal que
$$ f'(c_h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
Ahora tomando el límite de $ h\rightarrow 0$ en ambos lados:
$$\lim_{h\rightarrow 0^+}f'(c_h)=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
Ahora $c_h\rightarrow a^+$ $h\rightarrow 0^+$ por lo tanto el lado izquierdo es igual a $L$:
$$ \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=L.$$
Del mismo modo la toma $ h<0$ $ h\rightarrow 0^-$ que puede mostrar:
$$ \lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=L.$$
Por lo tanto $ f$ es diferenciable en a $a$ con derivados $f'(a)=L$ $\bullet$
Respuesta corta: sí. Breve explicación: Darboux' Teorema de.
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