Parece en algunos círculos que el producto de la cuña se utiliza de preferencia para rizar. Tengo un básico entendimiento de fórmula de Green y Stokes, deseo utilizar la notación de $\wedge$ de ahora en adelante.
Alguien me puede decir si esto se hace comúnmente, y si es así qué es la asunción subyacente de la superficie. Si no es mucho pedir, alguien me puede mostrar cómo decir escribir las ecuaciones de Maxwell usando $\wedge$ en vez de Curl
Canónicamente, el producto exterior es distinta de la de la cruz del producto y no debe confundirse, sin embargo, en tres dimensiones están íntimamente ligados.
La cuña de producto (o exterior del producto) viene desde el exterior, el álgebra, la primera debido a Grassmann que generalizada vector de productos arbitraria de las dimensiones. Sería más tarde ampliada por Clifford en el Álgebra de Clifford, que uniría el interior y exterior de los productos de dimensiones arbitrarias.
La cruz del producto en sí vendría de un término en el quaterion's descrita por primera vez por Hamilton. Sólo existe en tres dimensiones, y se define como
$$ \vec c = \vec a \times \vec b $$ $$ c_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k $$
Donde $\epsilon$ es la de Levi-Cevita símbolo, un completo anti-simétrica "tensor"
$$ \epsilon_{ijk} = \begin{cases} 1 & \text{$ijk$ an even permutation of 123} \\ -1 & \text{$ijk$ an odd permutation of 123} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$
Esto define un vector que es perpendicular a los otros dos vectores. Y allí podemos ver de inmediato el problema. En dimensiones mayores que 3 ya no hay una única dirección perpendicular a dos vectores, hay todo un subespacio.
Para evitar esta dificultad, Grassmann tenido que cambiar la interpretación geométrica de los productos de vectores. Su cuña de producto (o exterior del producto) lleva dos vectores y devuelve un objeto que representa el orientado, escala de plano que los dos vectores palmo, y axiomáticamente se define a ser antisimétrica.
$$ \vec a \wedge \vec b = - \vec b \wedge \vec a $$
Desde wikimedia
Esto, naturalmente, puede ser extendido a más objetos geométricos por acuñamiento por aún más vectores para construir un completo totalmente álgebra.
Ahora podemos escribir la correspondencia entre la cruz del producto y de la cuña de producto:
$$ \vec a \times \vec b = \star ( \vec a \wedge \vec b) $$
Esto es bastante insatisfactorio como una ecuación, porque las he ocultado todo de los correspondientes bits en un nuevo símbolo: ($\star$), lo que representa el dual de Hodge. Se puede ver, una de las consecuencias de este geométricas álgebra de Clifford es que sólo se puede cuña cosas el uno contra el otro hasta ahora, se acaba de ejecutar fuera de espacio a la cuña contra. Además, la dimensionalidad de un determinado rango de objetos en esta álgebra suceder que corresponden a las filas del triángulo de Pascal. En particular, en tres dimensiones tenemos:
$$ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 $$
Es decir, tenemos 1 linealmente independientes escalar, 3 independiente de vectores, 3 independiente de aviones y sólo 1 independiente del elemento de volumen. Durante cuatro dimensiones que tendría
$$ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 $$
1 escalares, 4 vectores, 6 elementos planos, 4 independiente (3D) de los volúmenes y de sólo 1 4D volumen. Siempre es cierto que estas secuencias son simétricas respecto a la media. Esto nos permite definir un operador: ($\star$) el dual de hodge, que los mapas de un objeto en la mitad izquierda de una de estas secuencias a la mitad derecha y viceversa. En particular, esto nos permite asociar cualquier plano en 3D con un vector correspondiente. Esto es totalmente natural, lo hacemos todo el tiempo en 3D, el natural vector asociado con un avión es el vector perpendicular al plano. En 4D, cada vector se asocia con un 3D del elemento de volumen, y viceversa.
En este punto, nos damos cuenta de que en 3 dimensiones es muy especial. El natural de productos de vectores ($\wedge$) lleva dos vectores y se crea un elemento plano, pero en 3D podemos siempre de forma exclusiva asignar un vector a este (orientado) plano, esto asociado vector es el producto cruzado. La cuña de dos vectores en cualquier dimensión superior, no puede ser asociado con un único vector, como he esperemos que claro.
Todo parece bonito un ordenado, pero el hecho de que el vector generado por el producto cruz no es el natural resultado de la multiplicación de vectores de hojas de una especie de mancha en los vectores creados por productos cruzados: se transforman de manera diferente en virtud de las reflexiones. Esto crea toda la confusión sobre pseudovectors. El producto de los vectores es , naturalmente, un avión, y los aviones no cambie de signo en virtud de la reflexión, mientras que los vectores de hacer. Para más detalles ver esta respuesta por ACuriousMind a otra pregunta.
La cuña producto tiene sus raíces en el exterior de álgebra. Exterior álgebra permite hablar acerca de los objetos como aviones o volúmenes como algebraica de los elementos de su propia, separada de la ordinaria vectores, pero todavía obedecen las mismas nociones de "vectores" en sus propios espacios vectoriales. El producto exterior de dos vectores es un bivector, y muchos de los conceptos que usted puede haber aprendido en el cálculo vectorial puede ser pensado en términos de bivectors lugar. Vectores normales son sólo los únicos vectores perpendiculares a bivectors que son tangentes a poco de la superficie de lugar. Las rotaciones pueden ser pensado como la rotación dentro de un bivector, en lugar de alrededor de un eje de rotación (y por cierto, la rotación dentro de un bivector es un concepto que todavía funciona en el espacio de Minkowski, a diferencia de los ejes de rotación).
Exterior de álgebra por sí sola no es suficiente, sin embargo: usted debe tener una forma para los vectores y bivectors para interactuar. Hay un par de formalismos que dar todas las herramientas para hacer esto:
Formas diferenciales. Las formas son muy comunes y ampliamente utilizado en matemáticas de alto nivel y de avanzada electromagnetismo y relatividad general. Formas diferenciales contribuye la maquinaria para el cálculo de bivectors y similares, utilizando el "exterior derivado" $d$. También tiene el concepto de Hodge dualidad, con la estrella de Hodge operador $\star$ que se convierte bivectors en 3d para sus vectores normales y viceversa. En última instancia, esto le da el poder para utilizar formularios de manera efectiva en métricas de contextos: como la relatividad especial y general.
Clifford álgebra y cálculo geométrico. Álgebra de Clifford es ampliamente utilizado en la mecánica cuántica, a través de la denominada gamma o matrices de pauli. El álgebra de estos objetos, sin embargo, es digno de estudio independiente de la idea de que estos son matrices mediante la multiplicación de la matriz. En este modo de pensar, puede utilizar el álgebra de clifford para run-of-the-mill vector 3d de la geometría y el cálculo. Álgebra de Clifford introduce un "geométrica de producto" de vectores en lugar, que incorpora tanto la métrica y el exterior de álgebra en una ingeniosa operación. Muchos de los conceptos básicos son los mismos de formas diferenciales, pero la notación es a menudo un poco más cerca de la tradicional cálculo vectorial en la mirada.
Usted debe utilizar la cuña de productos en cualquier momento usted no está en el espacio 3d, como el producto cruzado es utilizado solamente en 3d o 7d y no inmediatamente generalizable concepto.
Un tradicional diferencial de las formas de escritura de las ecuaciones de Maxwell podría ser como esta:
$$\star d (\star E) = \rho, \quad dE = -\partial_t B, \quad dB = 0, \quad \star d (\star B) = j + \partial_t E$$
Este formulario se $B$ como una 2-forma (bi-covector), pero no es muy común, como los formularios se utiliza más a menudo en el contexto de espacio-tiempo, donde $E$ también es una 2-forma y los dos campos se encuentran en el Faraday 2-formulario de $F$. Maxwell ecuación en el vacío y, a continuación, tomar en el formulario más sencillo
$$d(\star F) = J, \quad dF = 0$$
En el cálculo geométrico, el operador de la derivada de $\nabla$ tiene la capacidad de hacer tanto las divergencias y los rizos en una sola operación, por lo que la última ecuación es típicamente escrito
$$\nabla F = \nabla \cdot F + \nabla \wedge F = J + 0 = J$$
La relación entre las cuñas y la cruz del producto, es la siguiente: En formas diferenciales,
$$a \times b = \star (a \wedge b)$$
Mientras que en el álgebra de clifford, por lo general, mantener explícita de la unidad trivector $i$:
$$a \times b = i^{-1} (a \wedge b)$$
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