Una confusión sobre la notación en Goldstein

Question

Al tratar sistemas de partículas, Goldstein comienza con la consideración de que siempre que haya $k$ partículas en un sistema, la partícula $i$-ésima obedece la relación

$$\dfrac{d}{dt}{\bf p}_i = {\bf F}_i^{(e)}+\sum_{j=1}^k {\bf F}_{ji}$$

Donde ${\bf F}_{i}^{(e)}$ es la fuerza externa sobre la partícula $i$-ésima y ${\bf F}_{ji}$ es la fuerza que la partícula $j$-ésima aplica sobre la $i$-ésima. Ahora, si calculamos el trabajo al mover el sistema a lo largo de una curva $\gamma$, tenemos:

$$W=\sum_{i=1}^k\int_\gamma {\bf F}_i = \sum_{i=1}^k \int_{\gamma}{\bf F}_i^{(e)}+\sum_{i,j=1}^k\int_{\gamma}{\bf F}_{ji}$$

Ahora él dice lo siguiente (en la pág. 10)

En el caso especial de que las fuerzas externas sean derivables en términos del gradiente de un potencial, el primer término puede escribirse como $$\sum_{i=1}^k \int_{\gamma} {\bf F}_i^{(e)} = -\sum_{i=1}^k \int_{\gamma} {\bf \nabla}_iV_i=-\sum_{i=1}^k V_i\bigg|_{a}^b$$ donde el subíndice $i$ en el símbolo del nabla indica que las derivadas son con respecto a las coordenadas de $\mathbf{r}_i$.

Ahora no puedo entender por qué este $i$ en el símbolo del nabla. Básicamente estamos considerando que el espacio de configuración es $\mathbb{R}^3$ por lo que las funciones de coordenadas naturales son $x,y,z: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R$ que son proyecciones sobre los ejes y con esas coordenadas, hay solo un operador nabla, es decir:

$${\bf \nabla} = \dfrac{\partial}{\partial x} e_1 + \dfrac{\partial}{\partial y}e_2+\dfrac{\partial}{\partial z}e_3$$

Entonces, ¿qué significa realmente "diferenciar con respecto a las coordenadas de $\mathbf{r}_i$? ¿Y por qué lo necesitamos? ¿Tiene alguna relación con la idea de tomar el espacio de configuración para un sistema de $k$ partículas como $\mathbb{R}^{3k}$?

Answer 1

Lo que Goldstein quiere decir con $\nabla_iV_i$ es $$ \nabla_iV_i=\left(\frac{\partial}{\partial x_{1,i}}\hat{x}_{1,i}+\frac{\partial}{\partial x_{2,i}}\hat{x}_{2,i}+\frac{\partial}{\partial x_{3,i}}\hat{x}_{3,i}\right)V_i $$ que de hecho es un vector. Aquí, $\mathbf r_i=(x_{1,i},\,x_{2,i},\,x_{3,i})$ es la posición de la partícula $i$ (con respecto al origen), por lo que $\nabla_i$ es el gradiente del potencial desde la partícula.

Pensar en $\nabla_iV_i$ como algún tipo de "producto punto" (para convertirlo en una cantidad escalar) es erróneo porque un producto punto necesita dos vectores y $V_i$ es claramente una cantidad escalar.

Answer 2

Esto es típico de ver en situaciones donde el potencial es una función de las coordenadas de más de una partícula: $$ V=V(\mathbf r_1,\ldots,\mathbf r_N)=V(x_1,y_1,z_1,\ldots,x_N,y_N,z_N). $$ La fuerza producida por dicho potencial en la $i$-ésima partícula es el gradiente de esta función con respecto a las coordenadas de esa partícula, mientras se mantienen constantes todas las otras coordenadas de las partículas. Esa es la idea detrás de la notación $$\nabla_i = \dfrac{\partial}{\partial x_i} e_x + \dfrac{\partial}{\partial y_i}e_y+\dfrac{\partial}{\partial z_i}e_z.$$ Todavía es una cantidad con valor vectorial, pero toma diferentes valores para las diferentes partículas.

Si deseas sistematizar el uso de subíndices, entonces el espacio de coordenadas de tu sistema está descrito por funciones de coordenadas $x_{ki}$, donde $k=1,2,3$ describe las tres dimensiones espaciales, e $i=1,\ldots,N$ etiqueta las partículas. En esa notación, $$ \nabla_i=\dfrac{\partial}{\partial x_{ik}}e_k $$ con suma de Einstein entendida.