¿Qué estructuras topológicas tienen exactamente una base?

Question

Para los deberes

¿Qué estructuras topológicas tienen exactamente una base?

Creo que:

$\{\emptyset,X\}$ su base es $\{\emptyset,X\}$

¿está bien? No estoy seguro, ¿podría proporcionarme otro ejemplo y por qué?

Answer 1

Piensa en $\mathbb R$ con el conjunto formado por todos los intervalos $(-1/n,\ 1/n)$ para la naturaleza $n$ .

Observación: Se puede demostrar que las topologías de un conjunto $X$ con una sola base son exactamente las familias $\mathcal S$ de subconjuntos de $X$ tal que $\{\emptyset,X\}\subseteq\mathcal S$ y cada subfamilia $\mathcal T\subseteq\mathcal S$ tiene un elemento mayor, es decir, un conjunto $M\in\mathcal T$ que contiene todos los demás $T\in\mathcal T$ .

Answer 2

Para cualquier secuencia finita $\emptyset \subseteq X_1 \subseteq X_2 \subseteq \dots \subseteq X_n \subseteq X$ la topología en $X$ que consiste en esos conjuntos proporciona otro ejemplo.

Tarea ¿hay más ejemplos?

Answer 3

La redacción tiene algo de truco. Hay que tener en cuenta que cualquier base puede ampliarse añadiendo un conjunto abierto que no esté ya en ella. Así que si una topología tiene exactamente una base, esa base debe contener todos los conjuntos abiertos de la topología.

Answer 4

La definición que aprendí, hace años, es que una base para una topología $\mathcal T$ es una familia $\mathcal B\subseteq\mathcal T$ de manera que cada miembro de $\mathcal T$ es la unión de una subfamilia de $\mathcal B$ . ("Todo conjunto abierto es la unión de algunos conjuntos abiertos básicos") Con esta definición, $\mathcal T$ es una base para sí mismo, y también lo es $\mathcal T-\{\varnothing\}$ (porque el conjunto vacío $\varnothing$ es la unión de la familia vacía). Así que toda topología tiene al menos dos bases.