¿Uno dividido por infinito no es cero?

Question

Sé que $\frac{1}{\infty}$ no está definido. Pero mi pregunta es - ¿podemos decir que $\frac{1}{\infty}\neq0$ ?

Tengo una idea de cómo explicarlo: Digamos que tenemos un generador de números aleatorios que genera números en el intervalo $(0, \infty)$ . ¿Cuál es la probabilidad de que genere 5? $\frac{1}{\infty}$ . Así que no puede ser igual a cero porque si fuera cero, no generaría ningún número (todo número tiene la misma probabilidad - $\frac{1}{\infty}$ ).

¿Estoy en lo cierto? ¿O es una idea equivocada?

Gracias

Answer 1

Cabe señalar que desde $\infty$ no es un número, la expresión $\frac{1}{\infty}$ no tiene sentido. Es decir, no se puede evaluar esta expresión. No es un número. Puedes pensar en ella del mismo modo que en $\frac{1}{0}$ --- una expresión sin ninguna interpretación.

El único medio que tenemos para hablar de expresiones que implican $\infty$ es a través del concepto de límites. La abreviatura $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0 $$ a veces es utilizada de forma descuidada por los estudiantes, pero la expresión del medio en esta cadena de ecuaciones no es estrictamente significativa. Es sólo un recurso para recordar que estamos viendo lo que ocurre cuando dividimos 1 entre números cada vez más grandes.

Así que, supongo que en cierto sentido, se puede decir que $\frac{1}{\infty} \neq 0$ ya que el lado izquierdo no es ningún número.

Answer 2

Tu argumento hace uso de los estocásticos. Si quieres hacer las cosas de la manera matemáticamente exacta, primero tendrías que definir una medida de probabilidad sobre $(0,\infty)$ . Suponiendo que elijas una distribución continua, entonces sí, la Probabilidad de que aciertes $5$ es $0$ - pero hay infinitos números, así que no hay contradicción. (Tenga en cuenta que $0 \cdot \infty$ no está bien definido, y salvo en el caso de $\frac1{\infty}$ no hay forma heurística de definirlo)

Echa un vistazo a la Teoría de la Medida: https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_%28mathematics%29

Answer 3

Las operaciones en la línea real son mapas: \begin{align} +&\colon \Bbb R \times \Bbb R \to \Bbb R \\ -&\colon \Bbb R \times \Bbb R \to \Bbb R \\ \cdot &\colon \Bbb R \times \Bbb R \to \Bbb R \\ \div &\colon \Bbb R \times (\Bbb R \setminus \{0\})\to \Bbb R \end{align}

Pero $\infty \not\in \Bbb R$ por lo que no tiene sentido intentar hacer cosas como $1/\infty$ en este contexto . Cualquier par en el que $\infty $ no está en el dominio de las funciones anteriores.

Answer 4

En algunos contextos tiene sentido decir $1/0=\infty$ y $1/\infty=0$ . Si trabaja en un contexto en el que sólo hay un $\infty$ que puede abordarse en sentido positivo o negativo, entonces tiene sentido. Esto tiene sentido para los valores de (pero no los argumentos de) las funciones tangente y secante. Para las funciones racionales tiene sentido tanto para los argumentos como para los valores.

Answer 5

Si queremos entender " $=$ " como relación binaria de identidad y " $\neq$ como una relación binaria de no identidad, entonces, en la mayoría de los contextos, formalmente, $1/\infty$ no es idéntico a cero. Por lo tanto, tendría sentido lógico escribir $1/\infty \neq 0$ siempre y cuando "definamos lo que entendemos por $1/\infty$ ". Esto es más en un sentido estrictamente lógico que en un sentido matemático.

Para interpretar $1/\infty \neq 0$ matemáticamente, hay que describir cuidadosamente la estructura subyacente del enunciado.

Si sólo tenemos en cuenta " $=$ " y " $\neq$ "para números o expresiones algebraicas que incluyan números, entonces $1/\infty \neq 0$ no tiene sentido porque el lado izquierdo no es un número. Sin embargo, si define $1/\infty$ adecuadamente (por ejemplo, como procedimiento limitador), entonces la afirmación tiene sentido y puede evaluarse como falsa.