Existencia de un mapeo en un espacio de Banach no separable que mueve todos los puntos cercanos a puntos lejanos

Question

¿Existe un espacio de Banach no separable $X$ , un mapeo $F: X\to X$ y un subconjunto abierto no vacío $D\subset X$ tal que $$ \forall\,E>0 \quad \exists\,\delta>0: \quad \forall\,x,y\in D \quad (0<\|x-y\|<\delta \Rightarrow \|F(x)-F(y)\|>E) \, ? $$

Por supuesto, es imposible si $X$ es separable.

Answer 1

Parece lo siguiente.

La respuesta es negativa incluso cuando $D$ contiene un espacio métrico completo $C$ sin puntos aislados, $X$ es un espacio métrico y $F:D\to X$ es un mapa. En efecto, fijar un punto $y\in C$ y para cada número natural $n$ poner $C_n=\{x\in C: d(F(x), F(y))\le n\}$ . El teorema de Baire implica que existe un subconjunto abierto no vacío $U$ del espacio $C$ tal que $U\subset \overline{C_n}$ . Sea $\delta>0$ sea un número arbitrario. Dado que el conjunto $C_n$ es denso en el conjunto abierto no vacío $U$ existen diferentes puntos $x,x’\in U\cap C_n$ así pues $d(x,x’)<\delta$ . Pero $$|F(x)-F(x’)|\le |F(x)-F(y)|+|F(x’)-F(y)|\le 2n.$$