contraejemplos en los módulos de

Question

Probar o refutar: cualquier comunicación anillo $R $,

1. 3 $R $-módulos $M $, $N $ y $P $, $M \oplus P \simeq N \oplus P $ $M \simeq N $ implica.

2. Que $f:M\to N $ y $g:N\to M $ %#% de dos homomorphisms de #%-módulo tal ser que $R $ (donde $gf=1_M $ significa la identidad mapa $1_M = \operatorname{id}_M$). Entonces, $M$.

Si $N\simeq\operatorname{Im}(f)\oplus\ker(g)$ es un PID y los módulos son f.g., 1 es cierto, pero no tengo ni idea en casos generales.

Answer 1

Creo $1$ es falso, incluso cuando $R$ es un PID. Deje $R=\mathbb{Z}$, y $M=\mathbb{Z}$, $N=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, y $P=\oplus_{n=1}^{\infty} \mathbb{Z}$. A continuación,$M \oplus P \simeq N \oplus P$, puesto que son isomorfos a $\oplus_{n=1}^{\infty} \mathbb{Z}$, pero $M\not\simeq N$ $\mathbb{Z}$- módulos (tienen diferente rango).

Para la parte (2), veo que Jyrki tiene un toque en el comentario, pero permítanme decir algunas palabras. Este hecho es conocido como la división de lema en algunos libros de álgebra. El hecho de que $g\circ f = 1_{M}$ implica que el $g$ es surjective y $f$ es inyectiva. Por lo tanto, tenemos una secuencia exacta: $$ 0 \longrightarrow M\desbordado{f}\longrightarrow N\desbordado{g}\longrightarrow M \longrightarrow 0 $$ Uno de los criterios para la secuencia exacta para dividir es tener un mapa $h: M\to N$ tal que $g\circ h = 1_{M}$. En este caso, $h=f$ cumple con esta.