Rotación, traducción, etc son transformaciones lineales. Ellos mapa de líneas rectas con líneas rectas y curvas cuadráticas de curvas cuadráticas.
cilíndrica, esférica, etc. no son lineales. No conservar líneas etc.
En la Física, también tiene contranomial transformación. En matemáticas, se llama adjoints. Así, por cada transformación de la posición, con la correspondiente transformación de la fuerza, de modo que la fuerza de veces (posición de trabajo) no cambia. Un principio importante que debe ser mantenida en la física (y no generales transformaciones matemáticas) son las leyes de conservación (energía, potencia, velocidad, etc).
Añadido en respuesta a OP comentario
Para mantenerlo simple, voy a trabajar en 2-D.
Supongamos $(x,y)$ es un punto. A continuación, la transformación
$$
X = x+y \\
Y = 2x-y
$$
es un ejemplo de la transformación lineal de las originales (en minúscula) a la nueva (en mayúsculas).
Usted puede transformar de nuevo utilizando
$$
x=(X+Y)/3 \\
y=(2X-Y)/3
$$
Supongamos que tenemos una línea en el original de coordenadas dado por
$$
y = 5 x + 1
$$
a continuación, en las nuevas coordenadas, en la misma línea se
$$
(2X-Y)/3 = 5 (X+Y)/3+1 \Rightarrow Y = -1/2 X 1/2$$
que es una línea recta. Usted puede hacer lo mismo para cuadrática de las curvas también.
La transformación que está escrito utilizando matrices como
$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix} \,
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
$$
y la inversa de la transformación de la
$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix} ^{-1} \,
\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}
$$
Si las fuerzas se $f$ $g$ en el original de coordenadas, y $F$ $G$ en las nuevas coordenadas, entonces el contranomial de transformación está dada por
$$\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1\end{pmatrix} ^{T} \,
\begin{pmatrix} F \\ G \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \,
\begin{pmatrix} F \\ G \end{pmatrix}
$$
Tenga en cuenta que la transformación de nuevo a viejo y en el lugar de la inversa tiene una transposición. Ahora si $x,y$ cambios por $dx$, $dy$, a continuación, en las nuevas coordenadas que hemos
$$
dX = dx + dy\\dY = 2 dx - dy
$$
y el incremento en el trabajo realizado (en las nuevas coordenadas) es
$$
F dX + G dY = F (dx + dy) + G (2dx -dy)\\ = (F+2G) dx + (F-G) dy = f dx + dy g
$$
Esto demuestra la ley de la conservación de la mecánica celebrará en ambas coordenadas.
Para un ejemplo de no-lineal de transformación, considere la forma polar
$$
r = \sqrt{x^2+y^2} \\
\theta = \arctan2(x,y)
$$
Ecuación de la recta sería un desordenado fórmula en términos de$r$$\theta$, y yo se lo dejo a usted para ver lo que el contranomial transforma debe ser (no es fácil!)
Espero que esta larga explicación ayuda.
