Sé que esta pregunta se la hicieron antes, pero no lo pude encontrar y creo que mi pregunta es un poco diferente. Soy nuevo aquí, así que si hago algo mal, me siento, estoy tratando de aprender.
Tengo que "estudiar el límite de comportamiento de la secuencia y cuando existe calcular sus límites."
Esto es lo que he probado hasta ahora:
Estudié los primeros términos de la secuencia, y me afirmó que la secuencia fue monotono y en disminución. Luego me mostró que $a_{n+1}-a_n\leq0$ por: $$a_{n+1}-a_n= \frac {2^{n+1}} {(n+1)!}\ - \frac {2^n} {n!}= \frac {2^{n+1}} {n!(n+1)}- \frac {2^n} {n!}=\frac {2^n} {n!}(\frac {2} {n+1})-\frac {2^n} {n!}=\frac {2^n} {n!}(\frac {2} {n+1}-1)=\frac {2^n} {n!}(\frac {n-1} {n+1}) $$ Entonces me dijo: $\frac {2^n} {n!}(\frac {n-1} {n+1})\leq 0$ si $\frac {n-1} {n+1}\leq 0$ porque $2^n>0$$n!>0$ . Luego me dijo que ese $n+1>0$ n existente de los naturales y $1-n\leq0$, lo $\frac {n−1} {n+1}\leq 0$$a_{n+1}-a_n\leq 0$.
Por lo tanto, la sucesión es monótona y en disminución. Debido a que el primer término es 2 y $\frac {2^n} {n!}>0$, la secuencia es limitado y junto a la monotonía y acotamiento significa que existe un límite.
Ahora siento que lo que he hecho hasta ahora es correcto, y instintivamente sé que el límite es de $0$, pero ¿cómo puedo calcular que? Puedo afirmar es $0$ y demostrarlo mediante el epsilon de la definición de un límite?
Que hoy no hemos visto nada de la serie, pero hemos cubierto secuencias de cauchy (se supone que eso me ayude?) y cosas sobre lim (inf) y lim (sup). Cualquier ayuda por favor?
