¿Lógica detrás de la forma multiplicativa de "Engañar" a Gauss?

Question

Estaba pasando de $ \lim\limits_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n]{n!}}$ es infinita

No sigo por qué/cómo es verdad $(n!)^2 = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1)) (3 \cdot (n-2)) \cdots ((n-2) \cdot 3) ((n-1) \cdot 2) (n \cdot 1)\ge n^n$

¡He leído al menos la mitad los términos en el producto de n! será por lo menos n/2... ¿así?

Aconseje por favor.

Answer 1

ps

Answer 2

Si $k \le \frac{n-1}2$, entonces el $4k^2 \le n^2 - 2n + 1$ y así

\begin{align} \left(\frac{n + 1}2 + k\right)\left(\frac{n + 1}2 - k\right) & = \left(\frac{n+1}2\right)^2 - k^2 \\ & = \frac{n^2 + 2n + 1 - 4k^2}{4} \\ & \ge \frac{n^2 + 2n + 1 - (n^2 - 2n + 1)}{4} \\ & = n. \end {Alinee el}