Una pregunta sobre las familias normales

Question

Esto es Ahlfors q. 1, p. 227. Demostrar que en cualquier región la familia de funciones analíticas con parte real positiva es normal. ¿Bajo qué condición añadida está localmente acotada? Pista: Considera $e^{-f}$ . Bueno, he demostrado que $e^{-f}$ es normal, pero no sé qué hacer a continuación, además si estoy en lo cierto la normalidad implica la acotación local en el caso analítico, estoy tratando de averiguar por qué hizo esa pregunta...

Answer 1

Sí, estoy confundido en cuanto a lo que Ahlfors quería decir. El teorema de Montel dice que una familia de funciones sobre un dominio es normal si y sólo si está localmente limitada. Estoy seguro de que conoces el sentido "localmente acotado implica normal", para el sentido inverso sólo tienes que observar que si $\mathcal{F}$ es una familia no acotada localmente, entonces en un subconjunto compacto $K\subseteq\Omega$ por lo que existe una secuencia de funciones $\{f_n\}$ con $f_n\in\mathcal{F}$ y una secuencia de puntos $\{z_n\}$ en $\Omega$ tal que $f_n(z_n)\to\infty$ . Claramente $\{f_n\}$ no puede tener una subsecuencia que converja uniformemente en $K$ y por lo tanto $\mathcal{F}$ no puede ser normal.