¿Hay alguna investigación publicada sobre el valor de encontrar nuevas pruebas para teoremas antiguos?

Question

Ha habido muchas conjeturas en la historia de las matemáticas, algunas de las cuales, tras recorrer un largo camino, han dado lugar a pruebas largas y de alto nivel matemático. La prueba de Perelman sobre la conjetura de Poincare y la prueba de Wiles sobre la conjetura de Fermat son algunos ejemplos. Creo que la elaboración de pruebas más sencillas y cortas para cualquiera de los dos (ahora) teoremas mencionados tendría un valor incalculable...

Pero En la actualidad, hay muchos teoremas que tienen muchas pruebas y algunas de esas pruebas de ese único teorema utilizan el mismo nivel de matemáticas (¡y los mismos subcampos de las matemáticas!) y suelen tardar casi lo mismo en escribirse en papel.

Teorema de la compacidad de $[a,b]$ en topología estándar (ya conozco dos pruebas del mismo nivel/campo de estudio/longitud) y el Teorema de Pitágoras son sólo algunos ejemplos.

Mi pregunta se refiere a este último caso: ¿Existe alguna investigación que analice los casos de teoremas refutados y evalúe el valor de ese tipo de actividad?

Muchas gracias.

Answer 1

Esta cuestión (o una variante cercana de la misma) se discutió en detalle en:

Dawson, J. (2006). ¿Por qué los matemáticos vuelven a refrendar teoremas? Philosophia Mathematica (III) 14 (3), 269-286.

El artículo de Dawson es en sí mismo una especie de secuela de un anterior (y conocido) artículo de Yehuda Rav:

Rav, Y. (1999). ¿Por qué demostramos teoremas? Philosophia Mathematica (3) 7, 5-41.

En ese documento anterior, Rav argumentó (p. 6) que

la esencia de las matemáticas reside en inventar métodos, herramientas estrategias y conceptos para resolver problemas.... Las pruebas, sostengo, son el corazón de las matemáticas, el camino real para crear herramientas analíticas y catalizar el crecimiento

y que en muchos casos (Rav, creo, diría que en todos) las técnicas y los conocimientos generados por una prueba son más importantes que el propio resultado. De hecho, Rav se refiere a las pruebas (no a los teoremas, sino a las pruebas) como "el lugar y la fuente del conocimiento matemático" (p. 12).

En el documento posterior de Dawson, esta tesis se retoma y se desarrolla. Dawson dedica bastante tiempo a examinar la cuestión "¿Qué hace que dos pruebas diferentes ?" Esto resulta ser una pregunta bastante no trivial; por ejemplo, puede haber diferencias estructurales , diferentes estrategias o técnicas (por ejemplo, una prueba puede utilizar la inducción, otra no), etc. Dawson ofrece 8 razones diferentes por las que los matemáticos pueden refutar teoremas:

1. Subsanar las lagunas o deficiencias percibidas en los argumentos anteriores;
2. Emplear un razonamiento más sencillo, o más perspicaz, que las pruebas anteriores;
3. Demostrar el poder de las diferentes metodologías;
4. Proporcionar una reconstrucción (o justificación) racional de las prácticas históricas;
5. Ampliar un resultado o generalizarlo a otros contextos;
6. Descubrir una nueva ruta;
7. Preocupación por la pureza metodológica;
8. Para proporcionar algo análogo al papel de confirmación en las ciencias experimentales.

Dawson desarrolla cada una de esas ocho razones con cierto detalle, aportando ejemplos históricos de cómo ciertas re-pruebas desempeñan esas funciones.

Con respecto a su pregunta "¿Vale la pena dedicar tiempo a investigar para encontrar otra(s) prueba(s) para teoremas ya probados... en lugar de centrarse en problemas no resueltos o, al menos, ampliar los límites de las matemáticas?", Dawson escribe (p. 269):

Hoy en día, siguen apareciendo regularmente nuevas pruebas de viejos teoremas y enriquecer las matemáticas. De hecho, en 1950 se concedió la Medalla Fields a Atle Selberg, en parte por su demostración elemental del teorema de los números primos. de los números primos.

Así que, sí, hay valor en encontrar una nueva prueba de un viejo teorema. De hecho, una búsqueda en Google Scholar de artículos con la frase "una nueva prueba de" en el título encuentra muchos ejemplos del género .

Answer 2

Dado que la investigación matemática es una empresa humana, siempre vale la pena tener múltiples ángulos para entender un determinado teorema. Al menos, hay muchos tipos de público y lo que constituye un teorema útil para una multitud no tiene por qué serlo para otra. Por ejemplo, se puede encontrar una cuidadosa demostración epsilónica del teorema de la función inversa en un texto clásico de cálculo avanzado. Es muy rigurosa, pero da poca intuición sobre cómo realizar el teorema de forma pragmática. Por otro lado, quizá prefieras el esbozo del teorema que suelo ofrecer en mi curso de cálculo avanzado. Mi demostración (basada en el Cálculo Avanzado de Edward) no es del todo rigurosa, pero te da una idea de cómo implementar aproximadamente el teorema de la función inversa mediante aproximaciones iterativas.

Además de este tipo de disparidades en la presentación, también hay una investigación activa en lo que se conoce como matemáticas inversas . Más concretamente, esta gente se plantea las preguntas minimalistas de cuánto se puede quitar a un teorema y que siga siendo cierto. Este tipo de matemáticas de "elige tu propia aventura" puede ser muy desafiante. No es exactamente lo mío, pero, ciertamente, los que se dedican a ello aportan con éxito un nuevo ángulo a las matemáticas establecidas.

Answer 3

Hay muchas razones por las que las diferentes pruebas ayudan.

Una de ellas es que una nueva demostración muestra una nueva visión - por ejemplo, hay pruebas en álgebra que implican un largo cálculo, y totalmente elementales, que se simplifican enormemente una vez que se analiza la condición noetheriana.

A veces es útil saber qué suposiciones son vitales para una prueba. Por ejemplo, el teorema de Sylvester-Gallai en geometría puede demostrarse de varias maneras, pero es útil saber en qué geometrías es verdadero, y eso significa reducirlo a lo más básico.

Luego están las pruebas de existencia que nos dicen poco sobre la cosa que existe. Una prueba que construye el objeto, o que da nueva información sobre él, es un avance definitivo, aunque lleve más trabajo.

Y luego, a medida que las matemáticas avanzan, nos encontramos con situaciones más generales -de una dimensión a muchas, de campos y espacios vectoriales a anillos y módulos, etc.- y las propiedades que nos gustaban en el primer contexto tienen que probarse en el nuevo.

Answer 4

Desde el punto de vista del individuo, me atrevería a decir que siempre merece la pena personalmente, porque el investigador ganará experiencia en el campo.

Desde la perspectiva del beneficio general, a veces es muy digno, por ejemplo, algunos teoremas no pueden aplicarse a problemas de la vida real en su expresión inicial, así que cuando se encuentran otras formas de definir el mismo problema (incluso utilizando los mismos campos de investigación), los resultados pueden aplicarse a problemas de la vida real.

Por ejemplo, cualquier prueba de primalidad: ahora podemos saber de múltiples maneras si un número es primo, pero por ejemplo un punto principal es cuántas veces necesitamos saberlo, así que cualquier nueva investigación en esa misma materia, incluso encontrar pruebas alternativas, es digna, cada una de ellas puede llevar a una mejor solución.