¿Cómo abordar la construcción de homomorphisms del anillo?

Question

Como un primer año de matemáticas de pregrado que me estoy tomando mi primer curso de álgebra abstracta y he estado luchando con uno de los aspectos del curso en particular.

¿Cuál es el enfoque de la construcción de ciertas anillo homomorphisms / isomorphisms, en general, dadas ciertas restricciones?

Dada una función, es fácil para mí para evaluar si es o no es un homomorphism. Sin embargo, cuando se le preguntó, por ejemplo:

DAR EJEMPLOS DE

-conmutativa anillos de R, S y un anillo homomorphism f : R → S tal que la Corte es un ideal maximal, y S no es un campo.

-conmutativa anillos de R, S y un anillo homomorphism f : R → S tal que la Corte no es un máxima ideal, y S es un campo.

Yo en realidad nunca se sabe por dónde empezar. ¿Cómo se puede "incorporar" condiciones diferentes a encontrar homomorphisms? Es sólo una cuestión de saber un montón de ejemplos, o es que hay un más sólido enfoque a estos problemas?

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Intenta descomponer el problema en partes. Parte de ella es la suerte y la experiencia, pero también está tratando de hacer que el problema sea razonable.

• En este caso, tiene un anillo de homomorphism $f:R\rightarrow S$ cuyo núcleo es un ideal maximal de a$R$$S$, no es un campo. Así que, ¿qué sabe usted; dado que el núcleo de $f$ es un ideal maximal, la imagen de $f$ es un campo. Desde $S$, no es un campo, sabemos que $S$ no puede ser el de la imagen. Por lo tanto, tenemos un campo de $F$, de modo que $f$ puede ser escrito como $$ R\rightarrow F\hookrightarrow S. $$ En otras palabras, la imagen de $R$ $F$ (e $F\simeq R/\ker(f)$) y $F\subseteq S$. Por lo tanto, ahora podemos empezar a pensar acerca de anillos que contienen campos. Un ejemplo sencillo sería el polinomio anillo de $\mathbb{C}[X]$ debido a que contiene el campo de $\mathbb{C}$, mientras que no es un campo. Ahora, necesitamos un mapa cuya imagen es $\mathbb{C}$. Así, el mapa de identidad de $\mathbb{C}$ que sí funciona (y automáticamente tendrá un máximo ideal como un núcleo, ya que la imagen es un campo). Esto le da $$ \mathbb{C}\xrightarrow{\sim}\mathbb{C}\hookrightarrow\mathbb{C}[x]. $$ Una más sofisticada ejemplo sería el mapa $$ \mathbb{R}[x]\rightarrow\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{C}\hookrightarrow\mathbb{C}[x]. $$

• Por otro lado, aparte de las otras declaración, tenemos un mapa de $R$ $S$y el núcleo de el mapa no es un ideal maximal. Dado que el núcleo no es un ideal maximal, la imagen no es un campo. Así, usted necesita un campo que contiene un anillo que no es un campo. Un buen ejemplo de esto podría ser $\mathbb{Q}$ contiene $\mathbb{Z}$. A continuación, podría utilizar la composición de mapas $$ \mathbb{Z}\xrightarrow{\simeq}\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}. $$ El núcleo de estos mapas es el cero ideal, que no es máxima en $\mathbb{Z}$.

En cada uno de estos ejemplos, la idea es hacer el primer mapa tiene el derecho kernel de la propiedad y, a continuación, hacer el segundo mapa colocar la imagen en el tipo de derecho de codominio. Al hacer el segundo mapa inyectiva, conservar las propiedades del núcleo.