Encontrar el límite de la secuencia dado

Question

$$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\dots +2012^n}$$

He utilizado el teorema de compresión (o el teorema del emparedado):

$$n\cdot \sqrt[n]{1^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\dots +2012^n}\le n\cdot \sqrt[n]{2012^n}$$ $\lim\limits_{n\to \infty} n\cdot \sqrt[n]{1^n} = \infty$
$\lim\limits_{n\to \infty} n\cdot \sqrt[n]{2012^n} = \infty$

por lo tanto el límite de la secuencia es igual a $\infty$.

¿Es esto correcto?

Answer 1

El límite es de $2012$.

Que $x_n$ denota el término de th de $n$ y $2012=\sqrt[n]{2012^n}\leqslant x_n\leqslant\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}=2012\cdot\sqrt[n]{2012}$ donde $\sqrt[n]{2012}\to1$. Hemos terminado.

Answer 2

$$2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n+\dots +2012^n}\le \sqrt[n]{2012\cdot 2012^n}= 2012\sqrt[n]2012$ $ Ahora aplicando el teorema del Sandwich tenemos el valor límite para ser 2012 (como $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]2012=1$)

Answer 3

Para complementar las respuestas anteriores - podemos generalizar el resultado obtenido. Si $k$ es un número natural y $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq ...\leq x_{k}$, entonces

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{k}^{n}}=x_{k}.$$

De hecho, mantener las desigualdades siguientes:

$$x_{k}=\sqrt[n]{x_{k}^{n}}\leq\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{k}^{n}}\leq\sqrt[n]{k\cdot x_{k}^{n}}=x_{k}\cdot\sqrt[n]{k}.$$

Ya que sabemos que $\sqrt[n]{k}\to 1$, nuestro resultado se deduce el teorema del apretón.