¿Este sencillo sistema dinámico 2D tiene una cantidad conservada?

Question

Consideremos el siguiente sistema dinámico bidimensional,

$$\dot{x} = y -y^3$$ $$\dot{y}= -x-y^2$$

donde, como es habitual, el punto representa una derivada temporal. (Este sistema se encuentra en la página 165 del libro de Strogatz "Nonlinear Dynamics and Chaos").

Estoy tratando de encontrar una cantidad conservada para este sistema Al parecer, existe y hay una forma sencilla de encontrarlo. Strogatz muestra que el sistema es reversible con un centro no lineal en el origen. El retrato de fase parece:

¿Este sistema tiene una cantidad conservada? Algo como $x^2+y^2 = \text{constant}$ por ejemplo (aunque esto no funciona...). Si es así, ¿cómo puedo encontrarlo?

He intentado jugar con el sistema pero no he sido capaz de encontrar ninguno, sin embargo el retrato de fase me lleva a pensar que algo debería conservarse.

Answer 1

Respuesta al mensaje de @lhf

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La ecuación

$$(y-y^3) \, \partial_x H - (x+y^2) \, \partial_y H = 0, $$ como propone @lhf, es una EDP lineal de primer orden para $H$ . El método de las características establece entonces que

$$ \frac{\mathrm{d}x}{y-y^3} = \frac{\mathrm{d}y}{-x-y^2} = \frac{\mathrm{d}H}{0}, $$

donde la última fracción indica que $H = c_1$ es una constante a lo largo de la curva característica definida por el primer signo igual:

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x+y^2}{y(1-y^2)}$$

que define $y$ en función de $x$ . La solución a esta ecuación (¿homogénea?) viene dada por Mathematica como:

$$ \small{ \left(\sqrt{3}+3\right) \log \left[\left(\sqrt{3}-1\right) y^2-2 x-\sqrt{3}-1\right] -\left(\sqrt{3}-3\right) \log \left[\left(\sqrt{3}+1\right) y^2+2 x-\sqrt{3}+1\right]=c_2 } $$ donde he absorbido un factor en la constante de integración. Pon ahora $c_1$ en función de $c_2$ tener $H = f(c_2)$ donde $ f $ es una función arbitraria de su argumento. Tomemos por ejemplo $f(\square) = \square$ como la función de identidad y así encontrarás:

$$ \small{ H = \left(\sqrt{3}+3\right) \log \left[\left(\sqrt{3}-1\right) y^2-2 x-\sqrt{3}-1\right] -\left(\sqrt{3}-3\right) \log \left[\left(\sqrt{3}+1\right) y^2+2 x-\sqrt{3}+1\right] }$$

que, si no me he equivocado en la transcripción, satisface la EDP original.

Espero que le resulte útil.

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Compruébalo con Mathematica:

Answer 2

Una cantidad conservada $H(x,y)$ debe ser tal que $H(x,y)$ es constante en las curvas integrales. Esto ocurre sif $H_x \dot x + H_y \dot y =0$ . Así que quiere resolver $$ \frac{\partial H}{\partial x}( y -y^3) + \frac{\partial H}{\partial y}( -x-y^2) = 0 $$ Esto sugiere que puede intentar un polinomio para $H$ quizás con un factor integrador.