¿Si converge $\sum (a_n)^2$ y $\sum (b_n)^2$ converge, converger $\sum (a_n)(b_n)$?

Question

Alguien me podria ayudar a solucionar esto o por lo menos me das un toque?, he probado usando el criterio de Cauchy, la prueba de Dirichlet para la convergencia, etcetera, pero me can´t probarlo. Sinceramente me don´t saber donde empezar. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

A partir de aquí: $$(|a_n|-|b_n|)^2=a_n^2+b_n^2-2|a_nb_n|\ge 0$ $

$$\implies |a_nb_n|\le \frac{1}{2}(a_n^2+b_n^2)$$By comparison test, $\sum a_nb_n$ es absolutamente convergente, por lo tanto convergente.