Número esperado de carreras en una secuencia de tirones de la moneda

Question

Una moneda con probabilidad de cabezas $p$ es volteado $n$ veces. Una "carrera" es una secuencia máxima de saltos consecutivos que son todos iguales. Por ejemplo, la secuencia de HTHHHTTH $n=8$ tiene cinco carreras, es decir, H, T, HHH, TT, H. muestran que el número esperado de carreras es $$1+2(n-1)p(1-p).$ $

He intentado utilizar alguna función generadora en esto pero cálculo consiguió bastante sucio y no funcionaba.

Answer 1

Utilizo variables aleatorias de indicador. $1\leq j\leq n-1$, Que $Z_j$ tome el valor $1$ si lo $j$ th y $j+1$ st moneda lanza es diferente y toma el valor $0$ lo contrario. Entonces el número de corridas es $R=1+\sum_{j=1}^{n-1}Z_j$ y su valor esperado es %#% $ de #% dejo el $$\mathbb{E}(R)=1+ \sum_{j=1}^{n-1}\, \mathbb{E}(Z_j)=1+(n-1) 2p(1-p).$ como un ejercicio de cálculo!

Answer 2

Utilizando la variable aleatoria indicador es una buena manera de resolver esta cuestión (véase la solución anterior). Es más, podemos calcular la varianza del número de pistas: $$Var\left( R \right) =Var\left( \sum _{ j=1 }^{ n-1 }{ { Z }_{ j } } \right) =E\left\{ { \left( \sum _{ j=1 }^{ n-1 }{ { Z }_{ j } } \right) }^{ 2 } \right\} -{ E\left( \sum _{ j=1 }^{ n-1 }{ { Z }_{ j } } \right) }^{ 2 } $$ $Z_j$ es una distribución de Bernoulli, $Z_j$ y $Z_k$ son independientes si $\left| j-k \right| \ge 2$(notice that $Z_j$ and $Z_{j+1}$ are dependent).

Podemos obtener $Var\left( R \right)=2pq\left( 2n-3-2pq\left( 3n-5 \right) \right) $.

Answer 3

Ya tenemos 2 buenas soluciones aquí, pero quería responder utilizando el método convencional.

Deje $\mathbb E(k)$ se espera que el número de carreras en una serie de $k$ lanzar una moneda. Es importante recordar que al lanzar una moneda se memoryless. Por lo tanto, $\mathbb E(k+1)$ depende sólo del valor de lanzamiento de la moneda $k$$k+1$. El valor de $\mathbb E(k+1)$ aumentará en 1 si $k^{th}$ $k+1^{th}$ lanzamientos son diferentes.

Manteniendo este en mente, podemos traducir estas ecuaciones en

$$ \mathbb E(k+1) = p(p\mathbb E(k) + (1-p)(1+ \mathbb E(k)) + (1-p)((1-p)\mathbb E(k) + p(1+ \mathbb E(k))) $$

Reordenando esta un poco nos da

$$ \mathbb E(k+1) = 2p(1-p) + \mathbb E(k) $$

Nuestra $ \mathbb E(k) $ es de la forma $ \mathbb E(k) = Ck +D $ para algunas constantes $C$$D$. El resultado de la siguiente manera después de encontrar estas constantes de la ecuación anterior y la condición inicial.