Valor esperado de la mediana de la muestra dada la media de la muestra

Question

Dejemos que $Y$ denota la mediana y deja que $\bar{X}$ denotan la media, de una muestra aleatoria de tamaño $n=2k+1$ de una distribución que es $N(\mu,\sigma^2)$ . ¿Cómo puedo calcular $E(Y|\bar{X}=\bar{x})$ ?

Intuitivamente, debido al supuesto de normalidad, tiene sentido afirmar que $E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$ y, efectivamente, esa es la respuesta correcta. Pero, ¿se puede demostrar con rigor?

Mi idea inicial era abordar este problema utilizando la distribución normal condicional, que es un resultado generalmente conocido. El problema es que, como no conozco el valor esperado y, por consiguiente, la varianza de la mediana, tendría que calcularlos utilizando la $k+1$ estadística de orden. Pero eso es muy complicado y prefiero no ir allí a menos que sea absolutamente necesario.

Answer 1

Dejemos que $X$ denotan la muestra original y $Z$ el vector aleatorio con entradas $Z_k=X_k-\bar X$ . Entonces $Z$ está centrada en la normalidad (pero sus entradas no son independientes, como puede verse por el hecho de que su suma es cero con toda probabilidad). Como función lineal de $X$ el vector $(Z,\bar X)$ es normal, por lo que el cálculo de su matriz de covarianza basta para demostrar que $Z$ es independiente de $\bar X$ .

En cuanto a $Y$ se ve que $Y=\bar X+T$ donde $T$ es la mediana de $Z$ . En particular, $T$ depende de $Z$ sólo por lo tanto $T$ es independiente de $\bar X$ y la distribución de $Z$ es simétrico, por lo que $T$ está centrado.

Finalmente, $$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

Answer 2

La mediana de la muestra es un estadístico de orden y tiene una distribución no normal, por lo que la distribución conjunta de muestra finita de la mediana de la muestra y la media de la muestra (que tiene una distribución normal) no sería normal bivariada. Recurriendo a aproximaciones, asintóticamente se cumple lo siguiente (véase mi respuesta aquí ):

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

con

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

donde $\bar X_n$ es la media de la muestra y $\mu$ la media de la población, $Y_n$ es la mediana de la muestra y $\mathbb v$ la mediana de la población, $f()$ es la densidad de probabilidad de las variables aleatorias implicadas y $\sigma^2$ es la varianza.

Así que aproximadamente para muestras grandes, su distribución conjunta es normal bivariada, por lo que tenemos que

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

donde $\rho$ es el coeficiente de correlación.

Manipulando la distribución asintótica para convertirla en la distribución conjunta aproximada de la media y la mediana muestrales (y no de las cantidades estandarizadas), tenemos $$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

Así que $$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

Tenemos que $2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$ debido a la simetría de la densidad normal por lo que llegamos a

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

donde hemos utilizado $\mathbb v = \mu$ . Ahora la variable estandarizada es una normal estándar, por lo que su valor absoluto es una distribución seminormal con valor esperado igual a $\sqrt{2/\pi}$ (ya que la varianza subyacente es la unidad). Por tanto,

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

Answer 3

La respuesta es $\bar{x}$.

Deje $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tienen una distribución multivariante $F$ para que todos los marginales son simétricas respecto a un valor común a $\mu$. (No importa si son independientes o incluso son idénticamente distribuidas.) Definir $\bar{x}$ a la media aritmética de los $x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$ y escribir $x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$ para el vector de residuos. La simetría de la asunción en $F$ implica la distribución de la $x - \bar{x}$ es simétrico con respecto al $0$; es decir, cuando $E\subset\mathbb{R}^n$ es cualquier evento,

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

La aplicación de la generalización de resultados en http://stats.stackexchange.com/a/83887 muestra que la mediana de $x-\bar{x}$ tiene una distribución simétrica alrededor de $0$. Suponiendo que su expectativa existe (que es ciertamente el caso cuando las distribuciones marginales de la $x_i$ son Normales), que expectativa tiene que ser $0$ (debido a la simetría implica que sea igual a su propia negativa).

Ahora ya restando el mismo valor de $\bar{x}$ a partir de cada conjunto de valores de no cambiar su orden, $Y$ (la mediana de la $x_i$) es igual a $\bar{x}$ más de la media de $x-\bar{x}$. Por lo tanto, su expectativa condicional en $\bar{x}$ es igual a la expectativa de $x-\bar{x}$ condicional en $\bar{x}$,$E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$. Esto último, obviamente, es$\bar{x}$, mientras que el primero es $0$ debido a la incondicional, la expectativa es $0$. Su suma es $\bar{x},$ QED.

Answer 4

Esto es más sencillo de lo que hacen las respuestas anteriores. La media muestral es un estadístico completo y suficiente (cuando se conoce la varianza, pero nuestros resultados no dependen de la varianza, por lo que serán válidos también en la situación en que se desconozca la varianza). Entonces el Rao-Blackwell junto con los teoremas de Lehmann-Scheffe (ver wikipedia ...) implicarán que la expectativa condicional de la mediana, dada la media aritmética, es el único estimador insesgado de varianza mínima de la expectativa $\mu$ . Pero sabemos que es la media aritmética, por lo que el resultado se deduce.

También utilizamos que la mediana es un estimador insesgado, lo que se deduce de la simetría.