Pregunta sobre la derivación integral de Komar en Wald

Question

Tengo una pregunta sobre la derivación 11.2.10 en Wald (página 289). Aquí hay una captura de pantalla del pasaje correspondiente:

No entiendo el paso $$-\frac{1}{4\pi}\int _{\Sigma}R^{d}{}{}_{f}\xi^{f}\epsilon_{deab} = \frac{1}{4\pi}\int _{\Sigma}R_{ab}n^{a}\xi^{b}dV.$$ ¿Podría alguien explicarme cómo consigue esa igualdad? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

EDIT](Precisiones para el signo en la definición de la normal)

Es posible que la expresión completa del término LHS sea :

$$-\frac{1}{4\pi}\int _{\Sigma}R^{d}{}{}_{f}\xi^{f}\epsilon_{deab} dx^e \wedge dx^a \wedge dx^b$$

Si es así, y teniendo en cuenta que lo normal es $n_d$ a la superficie $\Sigma$ se define simplemente por : $$n_d ~dV= -\epsilon_{deab} dx^e \wedge dx^a \wedge dx^b$$

Para la explicación del signo menos, hay que tener en cuenta que el $\Sigma$ es una hipersuperficie espacial, por lo que la normal es un vector temporal, es decir $n_d n^d = -1$ (Con las convenciones de Wald). Supongamos, por un momento, que estamos en una métrica plana, y que la $\Sigma$ La superficie es el volumen ordinario de 3 espacios. Siguiendo la elección del autor de " $n^d$ como el futuro de la unidad que apunta a la normalidad $\Sigma$ ", esto significa $n^0 = 1$ . Pero como $n_d n^d = -1$ Esto significa que $n_0 = -1$ . Esta es la justificación del signo menos.

Así que, finalmente conseguimos :

$$ \frac{1}{4\pi}\int _{\Sigma}R^{d}{}{}_{f}\xi^{f} n_d ~dV = \frac{1}{4\pi}\int _{\Sigma}R_{ab}n^a\xi^{b} ~dV$$