Integral de línea e integración de formas diferenciales

Question

La definición de la integral de una $k$forma $\omega$ a través de una parametrización colector $ Y_\alpha $ $ \int_{Y_\alpha}\omega = \int_A\alpha^*\omega$ donde $ \alpha\colon A \to R^n $.

Vamos $ \gamma:(a, b) \to R^3$. $ C_\gamma $ es una curva en $ R^3 $ y la integral de línea sobre la curva está escrito como $ \int_{C_\gamma}Pdx + Qdy + Rdz$ donde $P$, $Q$ y $R$ son función del componente de $\gamma $. Aplicando la definición de la integración de una $k$-formulario de más de un colector de la fórmula $$ \int_a^bP(\gamma(t)) \frac{d\gamma_1}{dt} + Q(\gamma(t)) \frac{d\gamma_2}{dt} + R(\gamma(t)) \frac{d\gamma_3}{dt}dt.$$ Sin embargo, me parece que falta algo. Aquí está mi cálculo: $$ \int_{C_\gamma}Pdx + Qdy + Rdz = \int_a^bP(\gamma(t))dx(\gamma(t))(\alpha_*(t; v)) + ... \\= \int_a^bP(\gamma(t))dx(\gamma(t))(\gamma(t);D\gamma(t) v) + ... $$

donde $v$ es de algún vector, en este caso sólo un escalar, ya que solo tiene un componente. Obviamente, la desaparición de $v$ daría el resultado esperado, pero no puedo ver por qué esto debería desaparecer. Sé que me estoy perdiendo algo muy simple, pero es posible que alguien este punto para mí, porque me siento bastante impotente ahora...

Referencia: estoy usando el libro "Análisis de los colectores" por Munkres.

Answer 1

No veo donde su vector de $v$ proviene. He escrito una derivación de la integral de abajo, donde yo no hago uso de un vector.

Vamos a tomar desde el principio. He tomado algunos métodos de representación de la libertad, sólo dime si algo no está claro. $C_{\gamma}$ es un buen $1$-dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^3$ con un global gráfico $\gamma:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^3$, $\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$, y $F=(F_1,F_2,F_3)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)$. A continuación, tenemos una 1-forma $F\text{d}x = F_1\text{d}x_1 + F_2\text{d}x_2 + F_3\text{d}x_3$ y un sencillo cálculo da

$\gamma^*(F\text{d}x)(t)= \sum_i \gamma^*(F_i)\wedge \gamma^*(\text{d}x_i)$

$= \sum_i \gamma^*(F_i)\text{d} \gamma^*(x_i)$

$=\left[(F_1\circ \gamma)(t)\gamma_1^{\prime}(t)+(F_2\circ \gamma)(t)\gamma_2^{\prime}(t)+(F_3\circ \gamma)(t)\gamma_3^{\prime}(t)\right]\text{d}t$

$=\langle (F\circ \gamma)(t),\gamma^{\prime}(t)\rangle\text{d}t$.

Así que su integral se convierte en $$\int_{C_{\gamma}} F_1\text{d}x_1 + F_2\text{d}x_2 + F_3\text{d}x_3 = \int_{(a,b)}\langle (F\circ \gamma)(t),\gamma^{\prime}(t)\rangle\text{d}t$$

EDITAR:

Mi definición de $\gamma^*$ al $\omega=\sum_i f_i \text{d}x_i$ es una 1-forma, es $\gamma^*(\omega)(x)(v) = \omega(\gamma(x))(D_x \gamma (v))$ donde $D_x\gamma (v) = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \gamma}{\partial x_i}(x) v^i$. Aquí hay un enlace al artículo de wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Pullback_%28differential_geometry%29#Pullback_of_differential_forms