Tomando los medios de números varias veces

Question

Deje $A_1 = \{x_1,x_2,x_3,x_4\}$ ser un conjunto de cuatro números reales positivos. Los conjuntos de $A_i, i\geq 2$ se compone de cuatro números reales se define a partir de la media aritmética, media geométrica, media armónica y media de la raíz cuadrada, como se muestra a continuación.

Deje $A_2 = \{ \text{AM} (A_1),\text{GM}(A_1),\text{HM}(A_1),\text{RMS}(A_1) \}$

Deje $A_3 = \{ \text{AM} (A_2),\text{GM}(A_2),\text{HM}(A_2),\text{RMS}(A_2) \}$

$ \vdots$

Deje $A_{i+1} = \{ \text{AM} (A_i),\text{GM}(A_i),\text{HM}(A_i),\text{RMS}(A_i) \}$

Me preguntaba si había algo especial como este proceso se repite. ¿Los elementos del conjunto convergen hacia un número específico? Estaba pensando que convergían para ALGÚN número entre el gs y GM desde $RMS \geq AM \geq GM \geq HM$, pero esto es lo más lejos que podía ir.

Answer 1

Yo no puedo dar una respuesta completa, pero aquí es lo que hice:
(nota que en tu pregunta, puedes poner $AM \geqslant GM \geqslant HM \geqslant RMS$, pero la RMS es en realidad, se supone para ser el más grande, como en $RMS \geqslant AM \geqslant GM \geqslant HM$)
Para el experimento, me tomé 3 conjuntos de números $A_1 = \{2, 6, 11, 27\}, B_1 = \{1, 2, 3, 4\}$, e $C_1 = \{182.26, 5\sqrt{2}, 192403, 12\sin(1)\}$, ponerlos en excel, y crujían los números.
Como resulta que los números de hacer converger a un determinado número único para cada conjunto. Algunos convergen más rápido que otros, pero sí convergen y en el que de forma relativamente rápida. Aquí una imagen para mayor claridad:

Así, los tres conjuntos de hacer converger a un único número, resaltado en rojo cuando todos los valores llegaron a un acuerdo para 9 decimales. Como se puede ver, el número es siempre entre el gs y GM, no el GM y HM. (Aunque sospecho que su razonamiento era correcto, pensando en que iba a converger a un número en el "centro" de las desigualdades.)
No tengo ideas concretas sobre cómo dar una prueba de este hecho, pero es posible que a partir de este razonamiento:

1. Dado un conjunto de 4 números positivos en un conjunto $A_1$, podemos calcular su AM, GM, HM, y RMS, y dejar que ellos sean los cuatro valores en el conjunto $A_2$.
2. Desde los cuatro números en $A_2$ satisfacer la RMS-AM-GM-HM desigualdad, y cada promedio debe estar entre su máximo y mínimo de los valores (el más grande y el más pequeño de los elementos en $A_1$),$\max{A_1} \geqslant 1stRMS \geqslant 1stAM \geqslant 1stGM \geqslant 1stHM \geqslant \min{A_1}$.
3. En $A_3$, por el mismo razonamiento que en el paso 2, tenemos que el máximo de $A_2$, que es el 1stRMS, será mayor que el 2ndRMS, que es a su vez mayor que el 2ndAM... que es mayor que el mínimo de $A_2$, que es el 1stHM.
4. Podemos seguir 'anidar' las desigualdades en el uno al otro con cada repetición, y al hacer esto estamos apretando el medio entre las cada vez más cerca de los números, lo que hará converger.

Saludos!

Answer 2

Tarde para la fiesta, pero aquí va: Sí,no hay convergencia. Por sólo la aritmética y la media geométrica esto es clásica (marque la AGM método). Para obtener más significa que hay un artículo por Krause

Krause, Ulrich, El compromiso, el consenso, y la iteración de los medios. Elem. De matemáticas. 64 (2009), no. 1, 1-8.

lo que demuestra la convergencia en un marco más amplio. Usted puede incluso cambiar el medio utilizado de una iteración a otra y aún así obtener la convergencia como mi hermano y a mí demostrado aquí

Lorenz, Jan; Lorenz, Dirk A., Sobre las condiciones para la convergencia a un consenso. IEEE Trans. Autómata. Control de 55 (2010), no. 7, 1651-1656.