Exactitud de la diferencial de Kähler y del functor de homología relativa zeroth

Question

Sur Álgebra conmutativa: con vistas a la geometría algebraica Eisenbud describe el diferencial de Kähler como un functor que asigna $\Omega_{S/R}$ a un $R$ -Algebra $S$ y a un diagrama conmutativo $$ S \xrightarrow{\hspace{1cm}} S' \\ \uparrow \hspace{1.5cm} \uparrow \\ R \xrightarrow{\hspace{1cm}} R' $$ de anillos el morfismo correspondiente $\Omega_{S/R} \to \Omega_{S'/R'}$ lo que hace que el diagrama $$ \Omega_{S/R} \xrightarrow{\hspace{.5cm}} \Omega_{S'/R'} \\ \uparrow \hspace{1.5cm} \uparrow \\ S \xrightarrow{\hspace{1cm}} S' $$ conmutar. Luego escribe

Es exacto en el mismo sentido que el funtor de homología relativa zeroth es un funtor exacto de pares de espacios en topología.

Pregunta: ¿Qué significa eso? ¿Acaso se refiere a la secuencia cotangente relativa ? Para los ringmorfismos $R \to S \to T$ obtenemos una secuencia exacta de $T$ -módulos $$ T \otimes_S \Omega_{S/R} \to \Omega_{T/R} \to \Omega_{T/S} \to 0.$$

Según entiendo, los dos morfismos de la izquierda en esta secuencia exacta provienen de la construcción anterior. Sin embargo no entiendo como esta afirmación puede entenderse como exactitud, porque tendríamos que empezar con una secuencia exacta pero no lo hacemos. Tampoco he podido encontrar nada para entender su afirmación sobre el functor de homología relativa zeroth.

Answer 1

Creo que se refiere a la secuencia cotangente relativa, efectivamente. Dudo que su afirmación sobre la "exactitud del derecho" deba tomarse demasiado literalmente. ¿Qué significa decir que "el funtor de homología relativa zeroth es un funtor exacto de pares de espacios"? Significa que si tienes un par de espacios $(X,A)$ y, por tanto, una secuencia de mapas de pares $(A,\emptyset)\rightarrow(X,\emptyset)\rightarrow(X,A)$ se obtiene una secuencia exacta $H_0(A)\rightarrow H_0(X)\rightarrow H_0(X,A)\rightarrow 0$ . (Pero por supuesto $(A,\emptyset)\rightarrow(X,\emptyset)\rightarrow(X,A)$ no es realmente una secuencia exacta en el sentido del álgebra homológica clásica, ¿qué significa decir esto para una secuencia de mapas?). Creo que se refiere a la evidente similitud formal con esta secuencia; esta interpretación es razonable, como se puede ver en lo que dice en la página 389 (justo después de la secuencia cotangente relativa), que los funtores de homología de Andre-Quillen desempeñan el papel de los funtores de homología superior.