Problema: $\int^{\pi/2}_0 \sin\theta \ln(\sin\theta)d\theta$ es igual a...

Question

Problema:

$\int^{\pi/2}_0 \sin\theta \ln(\sin\theta)d\theta$ es igual a

(a) $\ln\frac{2}{e}$

(b) $-\ln\frac{2}{e}$

(c) $\ln 2$

(d) $1$

Mi enfoque: que $I =\int^{\pi/2}_0 \sin\theta \ln(\sin\theta)d\theta$... (1)

Ahora usando $\int^{\pi/2}_0 f(x)dx = \int^{\pi/2}_0 f(\pi/2-x)dx$

$\Rightarrow I = \int^{\pi/2}_0 \cos\theta \ln(\cos\theta)d\theta$....... (2)

Agregar (1) y (2) obtener

$\Rightarrow 2I = \int^{\pi/2}_0 \ln\{(\sin\theta)^{\sin\theta} (\cos\theta)^{\cos\theta}\}d\theta$ [Usando propiedad $m\log n = \log n^m$]

Ahora por favor sugerir cómo seguir adelante o algún otro método alternativo, será de gran ayuda gracias.

Answer 1

Incluso sin hacer los cálculos, solo con mirar en las opciones, podemos concluir que la respuesta debe ser $\ln(2/e)$, ya que todas las demás opciones son positivas, mientras que el integrando es siempre negativo de $0$ $\pi/2$, desde $\ln(\sin(t)) \le 0$. También se da un cómputo detallado a continuación.

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Tenemos $$\sin(t) \ln(\sin(t)) = \dfrac12 \sin(t) \ln(\sin^2(t)) = \dfrac12 \sin(t) \ln(1-\cos^2(t))$$ ajuste $\cos(t) = x$, tenemos $-\sin(t)dt = dx$. Por lo tanto, la integral se convierte\begin{align} I & = \int_0^{\pi/2}\sin(t) \ln(\sin(t))dt = \dfrac12\int_0^1 \ln(1-x^2)dx = \dfrac12\int_0^1 \ln(1+x) dx + \dfrac12\int_0^1 \ln(1-x)dx\\ & = \ln(2/e) \end {Alinee el}

Answer 2

Integración por las piezas puedes probar sustituyendo $x=\sin \theta$:

$\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ln(x)\operatorname{dx}=[\ln(x)\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\operatorname{dx}]_0^1-\int _0^1 \dfrac{1}{x}(\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{dx})\operatorname{dx}$.

Compruebe que el $\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{dx}=-\sqrt{1-x^2}$

Answer 3

Cuando tienen $t\in(0,\frac\pi2):$ $$\int\sin t\ln\sin t\,dt = -\int\ln\sin t\,d\cos t$$ (by parts:) $$= -\cos t\ln\sin t + \int\frac{\cos^2 t}{\sin t} dt = -\cos t\ln\sin t +\int\frac{\cos^2t-1+1}{1-\cos^2t}\sin t dt$$ $$= \int \left - \dfrac12\cost\ln(1-\cos^2t) - (-1 + \dfrac12\dfrac1 {\cos 1 t} + \dfrac12\dfrac1 {\cos 1 + t} \right) d\cos t$$ $$= -\dfrac12\cos t(\ln(1-\cos t) + \ln(1+\cos t)) + \cos t + \dfrac12\ln(1-\cos t) - \dfrac12\ln(1+\cos t)+C$$ $$= \dfrac12 (t 1-\cos) (\ln(1-\cost) + \ln (1 + t \cos))-\ln (\cos 1 + t) + \cos t + C$$ $$= (1-\cos t)\ln\sin t - \ln(1+\cos t) + \cos t +C.$ $ Así:$$ \int_0^\frac\pi2\sin t\ln\sin t\,dt = \left((1-\cos t)\ln\sin t - \ln(1+\cos t) + \cos t\right)\biggr|_0^\frac\pi2 = \ln 2 -1 = \ln\dfrac2e.