¿Si $A>0$, $B>0$, $A-B>0$% #% y luego #%?

Question

que $A,B\in M_n$, supongamos que

• $A>0$ (es decir, todo $a_{ij}>0$)
• $\rho (A) = \max \{ \left| \lambda \right|:\lambda$ es valor propio de $A$ $\}$
• $B>0$
• $A-B>0$

¿Por qué $\rho (A) - \rho (B) > 0$?

Answer 1

EDITADO: Deje $A(t) = B + t (A-B)$ interpolar linealmente entre el$B$$t=0$$A$$t=1$. Por lo tanto $A(t)$ es un resultado positivo de la matriz y así es su derivado $A'(t)$. Por Perron-Frobenius, $\rho(A(t)) = \lambda(t)$ es un autovalor simple, con la izquierda y la derecha vectores propios $v^T(t)$, $u(t)$ lo positivo de las entradas, podemos normalizar ellos para que $v(t)^T u(t) = 1$. Por otra parte, $\lambda(t)$, $v^T(t)$, $u(t)$ son diferenciable (de hecho real-analítica) como funciones de $t$. La diferenciación $v(t)^T u(t) = 1$ llegamos $v(t)^T u'(t) + v'(t)^T u(t)= 0$. Ahora la diferenciación de la ecuación de $\lambda(t) = v(t)^T A(t) u(t)$ tenemos $$\eqalign{\lambda'(t) y= v'(t)^T A(t) u(t) + v(t)^T'(t) u(t) + v(t)^T A(t) u'(t)\cr &= \lambda(v'(t)^T u(t) + v(t)^T u'(t)) + v(t)^T'(t) u(t)\cr &= v(t)^T'(t) u(t) > 0}$$

Answer 2

Sugerencias: Dejar $x$ ser el Perron vector de $A$, así que el $Ax>Bx$ y...