Estoy leyendo Neukirch del libro acerca de la teoría Algebraica de números y estoy totalmente de no entender algo. En un momento, él demuestra que el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ de un campo de número de $K$ es noetherian de la siguiente manera:
"cada ideal es un finitely generadas $\mathbb{Z}$-módulo de (2.10) y, por tanto, a fortiori, un finitely generadas $\mathcal{O}_K$-módulo."
Ahora 2.10 es la afirmación de que para un integralmente cerrado, el principio ideal de dominio A, F su campo de fracciones, L finita separables extensión de F y B la integral de cierre de Una de L, tenemos que "cada finitely generado B-submódulo $M\ne 0$ L es un servicio gratuito de Un módulo de rango $[L:F]$".
No puedo ver cómo 2.10 se utiliza aquí. Supongo que en nuestro caso $F=\mathbb{Q}, L=K, A=\mathbb{Z}, B=\mathcal{O}_K$. Así que sé que cada finitely generadas $\mathcal{O}_K$ submódulo (en otras palabras, el ideal) es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$-módulo, que es adicional a la información; pero, ¿cómo puedo asumir que lo ideal es que finitely generados en primer lugar? Que es lo que tengo que probar!
