Suponga E es un espacio de Hilbert y A: E \to E es un operador lineal tal que para todos los x,y \in E \langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle.
¿Cómo puedo mostrar, que A es continua?
Mi intento: Si no está delimitada (\Leftrightarrow no continua), entonces existe una secuencia (x_n) E tal que x_ n \to 0, pero \|Ax_n\| \to \infty ( n \to \infty ). Además, (Ax_n, y) = (x_n, Ay) \to (0, Ay) = 0, lo que, supongo, implica, que el Ax_n \rightharpoonup A0 = 0. Una debilidad de la convergencia en un espacio de Hilbert implica, que (Ax_n) está delimitado \Leftrightarrow \exists M \in \mathbb{R}, \ M > 0, \ \forall n \in \mathbb{N} \ \ ( \|Ax_n\| \leq M ). Esto es una contradicción, por lo A es limitado y por lo tanto continua.
Es correcta la prueba?