Un operador del uno mismo-adjoint en un espacio de Hilbert

Question

Suponga $E$ es un espacio de Hilbert y $A: E \to E$ es un operador lineal tal que para todos los $x,y \in E$ $\langle Ax, y \rangle = \langle x, Ay \rangle$.

¿Cómo puedo mostrar, que $A$ es continua?

Mi intento: Si no está delimitada ($\Leftrightarrow$ no continua), entonces existe una secuencia $(x_n)$ $E$ tal que $x_ n \to 0$, pero $\|Ax_n\| \to \infty$ ( $n \to \infty$ ). Además, $(Ax_n, y) = (x_n, Ay) \to (0, Ay) = 0$, lo que, supongo, implica, que el $Ax_n \rightharpoonup A0 = 0$. Una debilidad de la convergencia en un espacio de Hilbert implica, que $(Ax_n)$ está delimitado $\Leftrightarrow \exists M \in \mathbb{R}, \ M > 0, \ \forall n \in \mathbb{N} \ \ ( \|Ax_n\| \leq M )$. Esto es una contradicción, por lo $A$ es limitado y por lo tanto continua.

Es correcta la prueba?

Answer 1

Personalmente, la prueba parece correcta. Pero tal vez habría que decir que el adjunto del operador y, en consecuencia, auto-adjunto del operador está bien definido si usted considera $A \in \mathcal{L}(H)$, en otras palabras, está bien definido, si podemos usar la representación de Riesz teorema. Incluso si sólo tenemos en cuenta normativa de espacios, para definir la transpuesta/adjuntos o el operador doble necesitamos de continuidad.

Así que creo que hay así que muchos de los operadores lineales que se caracteriza por la identidad de $\langle Ax , y \rangle = \langle x , Ay \rangle$ que no están bien definidos. Tal vez alguien con más experiencia que yo puedo ampliar mi respuesta.