El rango de la matriz asimétrica es par

Question

Sé que el rango de una matriz asimétrica es par. Sólo necesito encontrar una prueba publicada de ello. ¿Puede alguien indicarme una fuente que me ayude?

Answer 1

He aquí una prueba elemental.

Supongamos que $A$ es una matriz asimétrica de rango $r$ y dimensión $n \times n$ . Ahora $r$ bien podría ser cero, y como el cero es un número par, entonces $A$ tiene un rango par. Por lo tanto, supongamos que $r > 0$ . En consecuencia, podemos elegir exactamente $r$ filas, digamos las que tienen los índices $i_1, i_2, ..., i_r$ que abarcan todo el espacio de filas. Dado que para una matriz asimétrica cada columna es igual a $-1$ veces la transposición de la fila correspondiente, por lo que cada columna de la matriz puede expresarse como una combinación lineal de las columnas con índices $i_1, ..., i_r$ de la misma manera que la fila correspondiente se expresa como una combinación lineal de las filas con estos mismos índices. Sabemos que si eliminamos una fila/columna de una matriz que está en el tramo de las filas/columnas restantes, el rango no cambia. Por lo tanto, podemos eliminar todas las $n - r$ filas y $n - r$ columnas restantes y no cambiar el rango. Debido a la simetría, cada vez que eliminamos una fila, eliminamos su columna correspondiente. De este modo, hemos conservado la estructura de la matriz. La submatriz resultante $A'$ tiene unas dimensiones $r \times r$ y el rango completo $r$ .

Supongamos, en aras de la contradicción, que $r$ es impar. Sabemos que $A'^T = -A'$ . Entonces el determinante de esta submatriz es $$\det(A') = \det(A'^T) = \det(-A') = (-1)^{r} \cdot \det(-A') = -\det(A')$$

y por lo tanto $\det(A') = 0$ . Esto contradice nuestra suposición de que $r \neq 0$ . Por lo tanto, $r$ es un número natural par.

Answer 2

Obsérvese que sobre un campo de característica 2, la matriz $$\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$$ es simétrica y tiene un rango $3$ . Así que creo que realmente estás buscando una prueba de que un alternando (simétrica con ceros en la diagonal) tiene un rango par.

La prueba de esto suele surgir al mirar la teoría de las formas bilineales, hay algunas referencias mencionadas en los comentarios que contienen pruebas, pero otra opción está en "Classical Groups and Geometric Algebra" de Larry Grove.

Answer 3

Esto no es una respuesta, sino una observación. El rango de una matriz simétrica sesgada es no siempre es uniforme. Realmente depende del campo de tierra. Sobre un campo finito de característica 2 (es decir $GF(2)$ ver aquí para una breve descripción), tenemos $1=-1$ . Por lo tanto, la matriz $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ is skew symmetric. Yet $A=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}$ también es de rango 1.

Dicho esto, una matriz simétrica sesgada compleja sí tiene un rango par, como se demuestra en las monografías mencionadas por Billy y Dylan Moreland en los comentarios a tu pregunta.

Answer 4

Puedes ver el libro de Hoffman sobre álgebra lineal en el último capítulo sobre formas bilineales que dice que el rango de la matriz simétrica sesgada es siempre par.

Answer 5

$\newcommand{\rank}{\mathrm{rank}}$ $\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}}$

Si $K$ es una matriz real simétrica sesgada, típicamente se demuestra mostrando $K$ tiene valores propios pares no nulos. A continuación se presenta una prueba utilizando la forma hermitiana de $K$ .

Desde $\rank(K) = r$ existe el orden $n$ matrices invertibles $P$ y $Q$ , de tal manera que $K = P\diag(I_{(r)}, 0)Q$ . Por $K = -K'$ , $Q'\diag(-I_{(r)}, 0)P' = P\diag(I_{(r)}, 0)Q$ es decir, $$\begin{align*} P^{-1}Q\diag(-I_{(r)}, 0) = \diag(I_{(r)}, 0)(P^{-1}Q)'. \end{align*}$$ Dejemos que $P^{-1}Q' = R = \begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} \\ R_{21} & R_{22} \end{pmatrix}$ , donde $R_{11}$ es una orden $r$ matriz. Sustituyéndola en la ecuación anterior se obtiene $R_{11}' = -R_{11}, R_{21} = 0$ . Por lo tanto, \begin{align*} P^{-1}Q' = $$\begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} \\ 0 & R_{22} \end{pmatrix}$$ es decir, Q' = P'. Q' = P $$\begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} \\ 0 & R_{22} \end{pmatrix}$$ , \fin{align*} de donde $Q = \begin{pmatrix} R_{11}' & 0 \\ R_{12}' & R_{22}' \end{pmatrix}$ . En consecuencia, \begin{align*} K = P $$\begin{pmatrix} I_{(r)} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} R_{11}' & 0 \ R_{12}' & R_{22}' \end{pmatrix}$$ P' = P $$\begin{pmatrix} R_{11}' & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ P'. \Fin Desde $P$ es invertible, $\rank(K) = \rank(\diag(R_{11}, 0)) = \rank(R_{11}) = r$ De ahí que $R_{11}$ es una orden $r$ matriz invertible. Tomando determinantes a ambos lados de $R_{11}' = -R_{11}$ produce $\det(R_{11}') = (-1)^r\det(R_{11})$ Por lo tanto $r$ debe ser un número par, de lo contrario $\det(R_{11}) = 0$ que se contradice con $R_{11}$ es invertible.