Función delta de Dirac y las funciones de correlación

Question

Estaba leyendo este artículo, que introduce la función Delta como una secuencia general de funciones integrables, es decir, si $$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)~\mathrm dx = G,$$ where $g(x)$ could be any function that gives a finite value for $G$, then $$\displaystyle \lim_{\gamma \to \infty} \gamma g(\gamma x)=G\delta(x).$$ Using this definition, the authors claim that the value of delta function is not necessarily infinite at $x=0$, because we can choose $g(x)$ in a way that $g(0) =0$.

Ahora para un blanco (o de Gauss) de ruido, vamos a llamar a $\zeta(t)$, la función de correlación se define como: $$\langle \zeta(t) \zeta(t^\prime )\rangle= K \delta(t-t^\prime),$$ que puede ser entendido de una manera intuitiva, afirmando que el ruido no tiene correlación para diferentes ocasiones, y tiene una fuerza de $K$.

¿Qué sucede con esta función de correlación si se elige el "Delta de generación de la secuencia de las funciones, de modo que $\delta(0)=0$? Debemos acaba de dar un significado a este tipo de funciones de correlación (que implica Delta) sólo cuando están dentro de una integral? (y si es el caso, a continuación, asumir que queremos integrar a esta correlación de$t'=0$$t'=t$, a continuación, en uso de las diferentes secuencias de funciones (para producir Delta), el resultado final de la integración puede ser diferente)

Answer 1

Diciendo que $\delta(0) = 0$ es completamente no-sensical ya que la delta de Dirac función no es una función, para empezar. Cuando nosotros los físicos escribir $$\int \delta(x)f(x) \mathrm{d}x = f(0) \tag{1}$$ cuando esa es toda la "definición" de la delta de la "función" que realmente necesita. Formalmente, el $\delta$ función es una templado de distribución, algo que asigna números a las funciones de prueba. La "integral" notación de eq. (1) es sólo una tecla de acceso debido a que en muchos aspectos esta asignación "se comporta como una integral", por ejemplo, obedece a una variante de integración por partes. La definición formal de la delta de la "función" es $f\mapsto \delta[f] = f(0)$ cuando ya estás notationally prohibido alimentar a una situación como en la $x=0$$\delta(0)$.

Si bien es cierto que uno puede representar el $\delta$ función como el límite de otras funciones (estos son llamados naciente funciones delta), este límite no es tomado en el espacio de las funciones, pero en el espacio de las distribuciones, por lo que el resultado no es una función. No tengo acceso al artículo específico que usted está leyendo, pero en general, manipular el valor de la función delta en puntos específicos en los que no hace ningún sentido riguroso. Como tan a menudo en la física, esto no significa necesariamente que el resultado obtenido es malo, pero debe ser probado por otros medios con el fin de confianza.

Answer 2

Además de la correcta interpretación matemática que aparece en la otra respuesta por ACuriousMind, tal vez un buen físicamente mentalidad punto de vista es observar que los objetos, como la $\delta(t)$ siempre han de ser interpretadas en el sentido de que el valor promedio, el uso de algunos borrones o función promedio (en QFT utilizamos la misma interpretación con respecto a los operadores de campo).

Si a usted le gustaría saber cómo de $\delta(t)$ se hizo en una vecindad de un punto de $t_0$, se debe utilizar una función $f$ se concentró en el barrio de $t_0$. La única información que se puede obtener es la integral de la $\int \delta(t)f(t) dt$. Esta forma de ver que la integral es cero sólo si el barrio donde se $f$ no desaparece incluye $t=0$, en este sentido $\delta(t)$ se concentra alrededor de $t=0$. De una manera más precisa la forma de $\delta(t)$ es inaccesible.

Como cuestión de hecho, esta es la forma en práctica varios de los instrumentos de trabajo, la informática algún tipo de valores promedio, alrededor de un preciso (aunque directamente inaccesible) valor $t_0$.

El ruido blanco de correlación ha de ser interpretada dentro del mismo marco. Para comprobar la correlación que debe utilizar una función promedio $f(t,t')$ describir la sensibilidad de su instrumento. Lo que se puede ver/medida es $$\int \langle \zeta(t) \zeta(t^\prime )\rangle f(t,t') dtdt'$$ Si la correlación es el ruido blanco de uno, la integral se desvanece tan pronto como $f(t,t) = 0$.

La adopción de este enfoque, cada pregunta con respecto al localmente forma precisa de $\delta$ es sin sentido.