Dimensión de representaciones del Grupo Lorentz

Question

En mi Teoría Cuántica de los campos de la clase estábamos discutiendo el finito dimensionales de las representaciones del grupo de Lorentz. Hablamos de la representación vectorial que actúa sobre los 4 vectores, y luego también la spinor representación que actúa sobre spinors. Mi problema es que estas dos representaciones son de 4 dimensiones.

Estoy acostumbrado a tratar con SO(3) donde las representaciones son etiquetados por la mitad de los números enteros y no hay una asignación única de cada etiqueta a la dimensión de la representación. Spin (1/2) da 2 dimensiones de las matrices, el Spin (1) da 3 dimensiones de las matrices, y así sucesivamente. Pero parece que hemos perdido la singularidad en el grupo de Lorentz. El vector de la representación y de la spinor representación tienen la misma dimensión. Qué tiene que ver esto con la no compactación del grupo de lorentz?

Gracias.

Answer 1

De hecho, han perdido a algún tipo de singularidad de la dimensión, pero no entre el vector y el spinor representación: La representación vectorial de los $\mathrm{SO}(1,3)$ es irreductible, mientras que las cuatro dimensiones de Dirac-spinor representación no es - no es la suma de la izquierda-quirales y un derecho-quirales Weyl representación.

En general, el finito-dimensional de las representaciones de la (componente conectado de la) grupo de Lorentz son en bijection a lo finito-dimensional representaciones de $\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$. Por la precisa relación entre el$\mathrm{SO}(1,3)$$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$, ver esta respuesta por Qmechanic. La teoría de la representación de $\mathfrak{su}(2)$ es, precisamente, la de la vuelta tal y como la conocemos, y por lo tanto finito-dimensional representación del grupo de Lorentz es etiquetado por dos medias enteros $(s_1,s_2)$. Si uno examina la forma en que el $\mathfrak{su}(2)$ álgebras de hecho vinculadas a las de Lorentz álgebra, uno encuentra que el giro total de dicha representación debe ser $s_1+s_2$.

La representación del espacio asociado a $(s_1,s_2)$ es sólo $\mathbb{C}^{2s_1 +1}\otimes\mathbb{C}^{2s_2+1}$, es decir, que el tensor de la spin-$s_i$ representaciones el uno con el otro. Por supuesto, esto muestra que la dimensión del espacio ya no es único para una determinada representación, incluso si su irreductible.

Sin embargo, esto no tiene nada que ver con la no-compacidad del grupo de Lorentz, es simplemente porque es un poco más complicado que el "fácil" $\mathrm{SO}(3)$. Por ejemplo, el compacto $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$ de las acciones de la misma finito-dimensional de la teoría de la representación.

Answer 2

No, la pérdida de la singularidad no tiene que ver con la no-compacidad del grupo de Lorentz. El hecho de que sólo hay una representación irreducible de cualquier dimensión que es especial para el grupo $SU(2)$ (y, por extensión, a $SO(3)$). No es cierto incluso para los otros compacto de Lie semisimple grupos. Por ejemplo, $SU(3)$ cuenta con dos representaciones irreducibles de dimensión 3, que también resultan ser conjugados para cada uno de los otros. Dispone también de cuatro representaciones de dimensión 15, dos pares de conjugar las representaciones.

Esperemos que pronto aprenderá que el finito-dimensional de las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz puede ser etiquetado por dos números, que corresponden (en una rotonda sentido) a las representaciones de $SU(2)$.

En general, una representación irreducible de una semisimple Mentira álgebra puede ser marcados por los valores de sus independientes Casimirs. $SU(2)$ tiene uno independiente Casimir, por lo que sólo necesita un número para especificar una representación. $SU(3)$ $SO(1,3)$ tienen dos Casimirs, por lo que necesita dos números.

Y, como ACuriousMind señalado, el spinor representación de las que estamos hablando no es en realidad irreductible. Es la suma directa de dos representaciones irreducibles, $(\tfrac{1}{2},0)$ $(0,\tfrac{1}{2})$ en una notación común. La representación vectorial es irreductible, y es etiquetados $(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$.