Encontrar la solución de DE no lineal $x\ddot{x}-\dot{x}^2=1$

Question

Estoy buscando ayuda sobre cómo encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial,

ps

que proviene de resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange para lagrangian$$x\ddot{x}-\dot{x}^2=1,$. Es de un ejercicio en mi curso de teoría de campo. Mi profesor me proporcionó la solución$L=x\sqrt{\dot{x}^2+1}$, que es una solución cuando se conecta a la ecuación, pero no da ninguna derivación.

¿Hay alguna manera de resolver este DE que no sea una suposición educada? ¿Si es así, cómo?

Answer 1

Sí, hay una manera. Dividiendo ambos lados de la ecuación diferencial por $x^2$ da

$$\frac{x\ddot{x} - \dot{x}^2}{x^2} = \frac{1}{x^2}$$

o

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{x}}{x}\right) = \frac{1}{x^2}.$$

Desde $\dot{x}/x = (\log x)^{\dot{}}$, tenemos

$$\frac{d^2}{dt^2}(\log x) = \frac{1}{x^2}.$$

Ahora establezca $x = e^u$, por lo que

$$\ddot{u} = e^{-2u}.$$

Multiplicando ambos lados por $\dot{u}$,

$$\ddot{u}\dot{u} = e^{-2u}\dot{u}$$

o

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{u}^2}{2}\right) = -\frac{d}{dt}\frac{e^{-2u}}{2}.$$

Por la integración,

$$ \dot{u}^2 = C - e^{-2u}$$

donde $C$ es una constante. Por lo tanto $\dot{u} = \pm \sqrt{C - e^{-2u}}$.

Por separación de variables,

$$\int \frac{du}{\sqrt{C - e^{-2u}}} = \pm\int dt.$$

Ahora

$$\int \frac{du}{\sqrt{C - e^{-2u}}} = \int \frac{e^u\, du}{\sqrt{Ce^{2u} - 1}}.$$

Establecimiento $\sqrt{C}e^u = \cosh \theta$, obtenemos

$$\int \frac{e^u\, du}{\sqrt{Ce^{2u} -1}} = \int \frac{\sinh\theta \,d\theta}{\sqrt{C}\sinh \theta} = \frac{1}{\sqrt{C}}(\theta + D) = \frac{1}{\sqrt{C}}\cosh^{-1}(\sqrt{C}e^u) + \frac{D}{\sqrt{C}}.$$

De ello se sigue que

$$\frac{1}{\sqrt{C}}\cosh^{-1}(\sqrt{C}e^u) = \pm t + A,$$

donde $A$ es una constante. Desde $e^u = x$,

$$\frac{1}{\sqrt{C}}\cosh^{-1}(\sqrt{C}x) = \pm t + A$$

o

$$x(t) = \frac1{\sqrt{C}}\cosh(\sqrt{C}(t + A))$$

que podemos escribir en la forma

$$x(t) = c_1 \cosh\left(\frac{t - c_2}{c_1}\right) .$$

Answer 2

Dejar $\dot x=p$. Luego $$ \ ddot x = \ frac {dp} {dt} = \ frac {dp} {dx} \ frac {dx} {dt} = p \, \ frac {dp} {dx}. $$ La ecuación se convierte en $$ x \, p \, \ frac {dp} {dx} -p ^ 2 = 1 \ implica \ frac {p \, dp} {p ^ 2 +1} = \ frac {dx} {X}. $$ Los resultados de la integración en $$ p ^ 2 +1 = C \, x ^ 2 \ implica {\ punto x \,} ^ 2 = c_1 \, x ^ 2-1 \ implica \ frac {dx} {\ sqrt { c_1 \, x ^ 2-1}} = \ frac {dt} {t}. $$ La solución es $$ \ int \ frac {dx} {\ sqrt {c_1 \, x ^ 2-1}} = \ log t + c_2. $$

Answer 3

El ODE es de tipo autónomo: http://mathworld.wolfram.com/Autonomous.html

El método habitual para resolverlo se muestra a continuación: