¿Hay una curva algebraica plana con simetría rotacional de solo 3 veces, pero sin simetría de reflexión?

Question

Soy nuevo en el tema de la teoría de invariantes, pero el operador de Reynolds apareció, así que he intentado calculados algunos ejemplos para mí. Yo calcula los polinomios invariantes bajo la cylic grupo $C_3$ orden $3$, dado por $120°$ rotaciones en el plano.

Estos polinomios, como

$$\frac 1 4 (x^3-3xy^2), \frac 1 4 (3x^2y-y^3), x^2+y^2, ...$$

y sus combinaciones dan lugar a la agradable temperatura de 120°-simétrica de las curvas planas. Sin embargo, de lo que puedo juzgar por mirar el trazan las imágenes en Wolframalpha, no siempre parece ser un reflejo de simetría a lo largo de algún eje.

Podemos deshacernos de eso? Hay una curva algebraica con sólo 120°-simetría de rotación, pero sin mayor reflexión de los ejes?

Por supuesto que puede tomar una unión de por ejemplo, adecuadamente dispuestas círculos expresada en una sola ecuación, entonces, debemos hablar de curvas irreducibles. Es mi observación correcta? Tal vez hay algunos obvios contraejemplo. Gracias

Answer 1

Publicar esto solo para empezar. No he comprobado que esto es absolutamente irreductible, pero parece prometedor:

$$x^3 - 3 x y^2 = C + (x^3 - 3 x y^2)^2 + y^3 - 3 y x^2. $$

Construido a partir de los invariantes de que usted enumeró. Si tenemos $C=0$ a continuación se hará una singularidad en el origen, y Mathematica tiene problemas de dibujo de ella sin problemas. A continuación hay una imagen de la realidad (yo tengo la impresión de que sólo estaban interesados en el avión real curvas) con $C=1/24$.

La adición de una positiva definida plazo de un nivel lo suficientemente alto nos debe de dar un compacto de la variante: $$ x^3 - 3 x y^2 + (x^2 + y^2)^4 = \frac1{24} + (x^3 - 3 x y^2)^2 + y^3 - 3 y x^2 $$