$$y = ax^2 + bx + c$$
que es tangente en el origen con la recta $y=x$ También es tangente con la línea $y=2x + 3$ . ¡Determina la función! ¡Dibuja una figura!
Mi pregunta principal es si esto se puede resolver? Tengo dudas
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Usuario no registrado
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Este es el gráfico de $f(x)= -\frac{1}{5}x^{2}+x$ que grafiqué con KmPlot. La figura debería darte una idea intuitiva de cómo resolverlo.
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La línea verde es $y=2x+3$ .
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La línea azul es $y=x$ .
Si la línea $y=2x+3$ y la parábola $y=ax^{2}+bx+c$ van a ser tangentes en un punto determinado entonces sus pendientes son iguales. Vamos a averiguarlo. Pendiente de la recta $y=2x+3$ es $2$ y tenemos $$2 = \frac{dy}{dx} = 2ax+1$$ Así que tienes $x=\frac{1}{2a}$ . También tenemos \begin{align*} 2x+3 & = ax^{2} + x \end{align*} que dice que $$2 \times \frac{1}{2a} + 3 = a \times \frac{1}{4a^{2}} + \frac{1}{2a}=\frac{3}{4a}$$ A partir de esto tenemos $$\frac{1}{a} -\frac{3}{4a} = -3 \Longrightarrow a=-\frac{1}{12}$$
Esto es para el valor $a=-\frac{1}{3}$ 
Esto es para el valor $a=-\frac{1}{7}$ . 
Dave
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Su problema es que ahora que tiene $y = ax^2 + x$ tangencial a $y = 2x + 3$ . Esto significa que tiene algún número $n$ donde $an^2 + n = 2n + 3$ (se encuentran en un punto) y $2an + 1 = 2$ (se encuentran tangencialmente).
Tienes dos ecuaciones y dos incógnitas; seguro que puedes resolver desde aquí.
Dan Walker
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3466
Nota : El método que sigue es muy similar a mi respuesta a la pregunta " ¿Hallar la ecuación de la cuadrática cuando se dan las tangentes? ".
Dado que la derivada de $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ es $f^{\prime }(x)=2ax+b$ las ecuaciones de las tangentes a la gráfica de $f(x)$ en los puntos $(x_{i},f(x_{i}))$ con $i=1,2$ son
$$\begin{eqnarray*} y &=&f^{\prime }(x_{i})x-f^{\prime }(x_{i})x_{i}+f(x_{i}) \\ &=&\left( 2ax_{i}+b\right) x-\left( 2ax_{i}+b\right) x_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}+c. \end{eqnarray*}$$
Uno de los puntos es $(x_{1},f(x_{1}))=(0,0)$ . Como la ecuación de la tangente en $(0,0)$ es $y=x$ debemos tener
$$bx+c\equiv x.$$
Comparando los coeficientes obtenemos $b=1,c=0$ . Por lo tanto, $f(x)=ax^{2}+x$ . Del mismo modo para la tangente en $(x_{2},f(x_{2}))$ también debemos tener
$$\left( 2ax_{2}+1\right) x-\left( 2ax_{2}+1\right) x_{2}+ax_{2}^{2}+x_{2}\equiv 2x+3.$$
Comparando de nuevo los coeficientes, obtenemos el siguiente sistema en $a$ y $x_2$ que nos permite encontrar $a$ :
$$\left\{ \begin{array}{c} 2ax_{2}+1=2\qquad\qquad\qquad \\ -\left( 2ax_{2}+1\right) x_{2}+ax_{2}^{2}+x_{2}=3.% \end{array}% \right. $$
De la primera ecuación obtenemos $x_{2}=1/(2a)$ que por sustitución en la segunda ecuación da $a=-1/12$ .
Por lo tanto, la ecuación cuadrática $y=f(x)$ es
$$y=-\frac{1}{12}x^{2}+x.$$
A continuación se muestra el gráfico de $y=f(x)$ junto con sus dos tangentes en los puntos $(0,0)$ y $(-6,-9)$ .
