Comprobando la irreductibilidad de$x^6-72$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

¿Hay alguna manera fácil de demostrar que$x^6-72$ es irreductible sobre$\mathbb{Q}\ $?

Estoy tratando de evitar la reducción de mod p y luego tener que calcular con algunas cosas como$(x^3+ax^2+bx+c)\cdot (x^3+dx^2+ex+f)$ y así sucesivamente ...

Muchas gracias.

Answer 1

El problema se vuelve mucho más simple si observa el campo generado por una raíz del polinomio. Dejar $\alpha^6 = 72$. Entonces $[{\mathbf Q}(\alpha):{\mathbf Q}] \leq 6$. Como$(\alpha^3/6)^2 = 2$ y$(\alpha^2/6)^3 = 1/3$, el campo${\mathbf Q}(\alpha)$ contiene una raíz cuadrada de 2 y una raíz cúbica de 3. Por lo tanto,$[{\mathbf Q}(\alpha):{\mathbf Q}]$ es divisible por 2 y por 3, por lo tanto, por 6 , entonces$[{\mathbf Q}(\alpha):{\mathbf Q}] = 6$, que es otra manera de decir que el polinomio mínimo de$\alpha$ sobre los racionales tiene grado 6. Por lo tanto,$x^6 - 72$ tiene que ser el polinomio mínimo de$\alpha$ sobre el racionales, por lo que este polinomio es irreductible sobre$\mathbf Q$.

Answer 2

Es útil, pero también se pueden ver primos más pequeños.

Módulo de reducción$5$ da$$X^6 - 72 = (X^2 + 2)(X^2 + X + 2)(X^2 - X + 2).$$ Reduction modulo $ 7$ gives $$X^6 - 72 = (X^3 + 3)(X^3 - 3).$ $

El módulo de reducción$5$ implica que no hay factor de grado$3$, y el módulo de reducción$7$ implica que no hay factor de grado$2$.

Answer 3

Yo había publicado una pregunta más general que el Brillante antes, a saber, de preguntar cuando es $p_n(x) = x^6 + n $ reducible sobre los enteros (que es equivalente a reducible sobre los racionales como el contenido del polinomio es 1).

Supongamos $p_n(x)=g(x)\cdot h(x),$ donde $g$ $h$ no son constantes. La suma de los grados de $g$$h$$6$, y el producto de los principales coeficientes es $1.$ Debido a que todos los coeficientes son números enteros, esto significa que el líder de los coeficientes de $g$ $h$ son tanto $1$ o ambos $-1.$ En el último caso, multiplicamos ambos $g$ $h$ $-1$ , de modo que el líder de los coeficientes se $1$. También, podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que el $\deg(g)\geq \deg(h).$

El polinomio $p_n$ $6$ raíces complejas, todas con valor absoluto $\sqrt[6]{|n|}$. Supongamos que el grado de $h$$k$, que puede ser $1,2,$ o $3$. A continuación, el valor absoluto de la libre plazo de $h$ es el producto de los valores absolutos de $k$ raíces, por lo tanto es $|n|^{k/6}.$ Si este es un entero, $|n|$ debe ser un cuadrado perfecto (si $k=3$) o de un cubo perfecto (si $k=2$) o un perfecto 6to poder (si $k=1$, aunque esto también es un cubo perfecto). Por otra parte, si $k=3$, $n$ no puede ser positivo, porque cada cúbicos polinomio tiene una raíz real, y $x^6+n>0$ positivos $n$.

Por lo tanto $p_n(x)$ es reducible si y sólo si $n = -a^2 $ o $b^3$.

Answer 4

Siguiendo a santo Tomás Andrews' comentario, se observa que el $x^6-72=f(x)g(x)$ $f,g\in\mathbb Z[x]$ implica que todos los coeficientes de $f,g$, excepto el líder de $1$ son múltiplos de $6$ debido a la reducción del modulo $2$ o $3$ nos debe dar una factorización de $x^6$. Claramente, $x^6-72$ no lineal factor. Para una ecuación cuadrática factor, podemos hacer el ansatz $$ x^6-72=(x^4+6ax^3+6bx^2+6cx+6d)(x^2+6ex+6f)$$ y encontrar $d+6(ce+bf)=0$ a partir del coeficiente de $x^2$, lo $d$ es un múltiplo de a$6$$-72=6^3df$, contradicción. Sigue siendo el caso cúbicos $$ x^6-72=(x^3+6ax^2+6bx+6c)(x^3+6dx^2+6ex+6f).$$ Desde el término constante, obtenemos $cf=-2$, por lo tanto $c+f=\pm1$ (uno de ellos es $\pm2$,el otro $\mp1$). Luego de que el coeficiente de $x^3$ obtenemos $c+f+6(bd+ae)=0$, es decir,$c+f\equiv0\pmod 6$, contradicción.